Chapitre 9 - Fluctuations de la moyenne observée : la variable aléatoire moyenne arithmétique

On conserve le contexte d’étude du chapitre précédent, c’est-à-dire l’examen de la variabilité d’une grandeur (variable aléatoire) dans une population d’individus ou unités statistiques. Mais on s’intéresse ici à la variable aléatoire « moyenne arithmétique ».

9.1 Première propriété de la variable aléatoire moyenne arithmétique

9.1.1 Un exemple

Prenons à nouveau le cas d’une variable discrète pouvant prendre les deux valeurs 0 et 1 [c’est-à-dire variable associée à présence-absence ou oui-non]. Supposons que l’on ait des raisons de penser que Pr(X = 0) = Pr(X = 1) = 1/2. On a vu qu’une telle variable a pour espérance 1/2, pour variance « vraie » 1/4.

On peut, par le calcul, pronostiquer le résultat d’une répétition d’expériences. En particulier, calculer la répartition de la variable « moyenne arithmétique calculée sur un échantillon de deux individus », notée M₂, ici deux lancers de pièce.

On isole cette variable. Quelles valeurs peut-elle prendre, avec quelles probabilités ?

Ainsi,

Alors :

Ainsi la variance « vraie » de la moyenne arithmétique est plus faible que la variance « vraie » de la variable d’origine (la moitié ici). L’espérance reste inchangée. Et ainsi vont les choses si la taille des échantillons (ici 2) qui constituent les unités statistiques augmente. La dispersion de M diminue au fur et à mesure que M se trouve calculée sur la base d’un échantillon de taille croissante. Le « comment » de cette situation peut être résumé ainsi : les valeurs de la moyenne arithmétique deviennent de plus en plus probables dans un voisinage de l’espérance car le nombre de situations pouvant donner une valeur observée proche de l’espérance augmente dans ce voisinage. Cela est dû au fait que l’espérance mathématique est « au milieu » des valeurs possibles. On le voit sur l’exemple ci-dessus où l’espérance est obtenue dans les deux cas (0, 1) et (1, 0). C’est encore plus perceptible sur l’exemple d’un dé. Pour que la moyenne observée calculée sur deux jets de dé soit 6, il faut obtenir le résultat (6, 6) ; pour qu’elle soit 3, il faut un total de 6, c’est-à-dire (5, 1), (4, 2), (3, 3), (2, 4), (1, 5), soit un événement 5 fois plus probable.

Il est possible de quantifier tout cela. On peut généraliser ce qui a été obtenu avec deux jets de pièces et on obtient, quelle que soit la distribution de la variable étudiée - qu’elle soit continue ou discrète - les résultats fondamentaux suivants.

9.1.2 Généralisation

1. L’espérance mathématique, ou moyenne « vraie », de la variable aléatoire moyenne arithmétique calculée sur un échantillon de taille  n coïncide avec la moyenne « vraie » de la variable étudiée, ce que l’on peut résumer par :
   
   
2. La variance « vraie » de la variable aléatoire moyenne arithmétique calculée sur un échantillon de taille  n est égale à la variance « vraie » de la variable  DIVISEE PAR n, ce que l’on peut résumer par :
   

   d’où la relation entre écarts-types :

   
   
3. Dans le cas où X est une variable de Bernoulli de paramètre Π (Pr(X = 1) = Π), les relations précédentes deviennent :
   

   μ(Pn) = Π