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Biostatistique

Sommaire

Avant-propos

Introduction

1 - Statistique(s) et Probabilité(s)

2 - Rappels mathématiques

3 - Eléments de calcul des Probabilités

4 - Probabilité Conditionnelle ; Indépendance et Théorème de Bayes

5 - Evaluation de l’intérêt diagnostique des informations médicales

6 - Variables aléatoires

7 - Exemples de distributions

8 - Statistiques descriptives

9 - Etude de la variable aléatoire moyenne expérimentale

10 - Estimation - Intervalle de confiance

11 - Les tests d’hypothèses. Principes

12 - Quelques tests usuels

13 - Tests concernant des variables qualitatives

14 - Liaison entre deux variables continues : notion de corrélation

15 - Méthodologie des études épidémiologiques

A - Tables statistiques


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traduction HTML V2.8
V. Morice


Chapitre 9 - Fluctuations de la moyenne observée : la variable aléatoire moyenne arithmétique

 

 

On conserve le contexte d’étude du chapitre précédent, c’est-à-dire l’examen de la variabilité d’une grandeur (variable aléatoire) dans une population d’individus ou unités statistiques. Mais on s’intéresse ici à la variable aléatoire « moyenne arithmétique ».

9.1 Première propriété de la variable aléatoire moyenne arithmétique

9.1.1 Un exemple

Prenons à nouveau le cas d’une variable discrète pouvant prendre les deux valeurs 0 et 1 [c’est-à-dire variable associée à présence-absence ou oui-non]. Supposons que l’on ait des raisons de penser que Pr(X = 0) = Pr(X = 1) = 1/2. On a vu qu’une telle variable a pour espérance 1/2, pour variance « vraie » 1/4.

On peut, par le calcul, pronostiquer le résultat d’une répétition d’expériences. En particulier, calculer la répartition de la variable « moyenne arithmétique calculée sur un échantillon de deux individus », notée M2, ici deux lancers de pièce.

On isole cette variable. Quelles valeurs peut-elle prendre, avec quelles probabilités ?

jet 1 : résultats Proba jet 1 jet 2 : résultats Proba jet 2 Proba jet1, jet2 M2
0 1/2 0 1/2 1/4 1/2(0+0) = 0
0 1/2 1 1/2 1/4 1/2(0+1) = 1/2
1 1/2 0 1/2 1/4 1/2(1+0) = 1/2
1 1/2 1 1/2 1/4 1/2(1+1) = 1

Ainsi, Image graphique364357.trsp.gif

Alors :

  • Image graphique365358.trsp.gif

  • Image graphique366359.trsp.gif

Ainsi la variance « vraie » de la moyenne arithmétique est plus faible que la variance « vraie » de la variable d’origine (la moitié ici). L’espérance reste inchangée. Et ainsi vont les choses si la taille des échantillons (ici 2) qui constituent les unités statistiques augmente. La dispersion de M diminue au fur et à mesure que M se trouve calculée sur la base d’un échantillon de taille croissante. Le « comment » de cette situation peut être résumé ainsi : les valeurs de la moyenne arithmétique deviennent de plus en plus probables dans un voisinage de l’espérance car le nombre de situations pouvant donner une valeur observée proche de l’espérance augmente dans ce voisinage. Cela est dû au fait que l’espérance mathématique est « au milieu » des valeurs possibles. On le voit sur l’exemple ci-dessus où l’espérance est obtenue dans les deux cas (0, 1) et (1, 0). C’est encore plus perceptible sur l’exemple d’un dé. Pour que la moyenne observée calculée sur deux jets de dé soit 6, il faut obtenir le résultat (6, 6) ; pour qu’elle soit 3, il faut un total de 6, c’est-à-dire (5, 1), (4, 2), (3, 3), (2, 4), (1, 5), soit un événement 5 fois plus probable.

Il est possible de quantifier tout cela. On peut généraliser ce qui a été obtenu avec deux jets de pièces et on obtient, quelle que soit la distribution de la variable étudiée - qu’elle soit continue ou discrète - les résultats fondamentaux suivants.

9.1.2 Généralisation

  1. L’espérance mathématique, ou moyenne « vraie », de la variable aléatoire moyenne arithmétique calculée sur un échantillon de taille  n coïncide avec la moyenne « vraie » de la variable étudiée, ce que l’on peut résumer par :
    Image graphique367360.trsp.gif 

  2. La variance « vraie » de la variable aléatoire moyenne arithmétique calculée sur un échantillon de taille  n est égale à la variance « vraie » de la variable  DIVISEE PAR n, ce que l’on peut résumer par :
    Image graphique368361.trsp.gif 
    d’où la relation entre écarts-types :
    Image graphique369362.trsp.gif 

  3. Dans le cas où X est une variable de Bernoulli de paramètre Π (Pr(X = 1) = Π), les relations précédentes deviennent :
    μ(Pn) = Π
    Image graphique370363.trsp.gif

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9.1 - Première propriété de la variable aléatoire moyenne arithmétique
9.2 - Seconde propriété de la variable aléatoire moyenne arithmétique : le théorème central limite
9.3 - Etude de la distribution normale (rappel)
9.4 - Application du théorème central limite. Intervalle de Pari (I. P.)
Résumé du chapitre
9.1.1 - Un exemple
9.1.2 - Généralisation