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Biostatistique

Sommaire

Avant-propos

Introduction

1 - Statistique(s) et Probabilité(s)

2 - Rappels mathématiques

3 - Eléments de calcul des Probabilités

4 - Probabilité Conditionnelle ; Indépendance et Théorème de Bayes

5 - Evaluation de l’intérêt diagnostique des informations médicales

6 - Variables aléatoires

7 - Exemples de distributions

8 - Statistiques descriptives

9 - Etude de la variable aléatoire moyenne expérimentale

10 - Estimation - Intervalle de confiance

11 - Les tests d’hypothèses. Principes

12 - Quelques tests usuels

13 - Tests concernant des variables qualitatives

14 - Liaison entre deux variables continues : notion de corrélation

15 - Méthodologie des études épidémiologiques

A - Tables statistiques


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traduction HTML V2.8
V. Morice


Chapitre 9 - Fluctuations de la moyenne observée : la variable aléatoire moyenne arithmétique

 

9.4 - Application du théorème central limite. Intervalle de Pari (I. P.)

9.4.1 - Définition de l’intervalle de pari (I. P.) d’une moyenne observée

 

On considère une variable aléatoire de moyenne « vraie » μ et de variance « vraie » σ2.

On sait que pour n grand (n ≥ 30, ou nΠ et n(1 - Π) ≥ 5) :

la variable Image graphique384375.trsp.gif est approximativement distribuée selon N (0, 1).

On se pose le problème suivant. On s’apprête à réaliser une série d’expériences, c’est-à-dire à mesurer la variable X sur un échantillon de n individus. Peut-on construire un intervalle [ab] tel que la probabilité pour que la moyenne observée que l’on s’apprête à calculer appartienne à cet intervalle ait une valeur donnée ? Il s’agit donc de construire un intervalle qui contienne avec une probabilité fixée la valeur observée que l’on va obtenir.

Il s’agit donc de trouver deux valeurs a et b telles que Image graphique385376.trsp.gif.

Exemple : Image graphique386377.trsp.gif

Un tel intervalle [ab] s’appelle INTERVALLE DE PARI (I. P.) de niveau 1 - α, ou encore intervalle de pari au risque α, ou encore INTERVALLE DE FLUCTUATION

La figure 7 illustre le problème posé.

Image normip.trsp.gif
Figure 7 : le problème de l’intervalle de pari

Ce problème admet plusieurs solutions : sauf besoin spécifique on choisit un intervalle symétrique autour de μ (ce qui est naturel compte tenu de la distribution de Mn).

Résolution : Image graphique388378.trsp.gif

La valeur λ inconnue doit vérifier :

Image graphique389379.trsp.gif

Image graphique390380.trsp.gif

Image graphique391381.trsp.gif

Si le théorème central limite s’applique, l’expression ci-dessus suit une loi N(0, 1) ; notons-la Z. Alors λ doit vérifier Image graphique392382.trsp.gif. C’est le uα de la table.

Finalement : λ = uα

Image graphique393383.trsp.gif et

Image graphique394384.trsp.gif 
Intervalle de Pari (I. P.) de la moyenne observée d’une variable de moyenne « vraie » μ, de variance « vraie » σ2 construite sur un échantillon de taille n

Exemple : α = 0,05 uα= 1,96 Image graphique395385.trsp.gif

Les conditions de validité de cette construction sont celles du théorème central limite, c’est-à-dire n ≥ 30 pour les variables continues non normales et  nΠ, n(1 - Π) ≥ 5 pour les variables de Bernoulli.

Cas d’une variable de Bernoulli : μ est notée Π, σ2 = Π (1 - Π). Donc

Image graphique396386.trsp.gif

L’interprétation de l’intervalle de pari est fondamentale. Si cet intervalle est bien calculé, on est quasi sûr, avec une probabilité 1 - α (ici 0,95), d’obtenir une valeur de la moyenne observée comprise dans cet intervalle. En pariant que la valeur va tomber dans cet intervalle, on se trompera (en moyenne) dans cinq pour cent des expériences.

Exemple :

On a des raisons de penser que la fréquence d’une maladie dans la population est Π = 0,2. L’intervalle de pari de la moyenne observée (proportion observée) calculée sur 64 individus au niveau 0,95 est :

Image graphique397387.trsp.gif

Il y a 95 chances sur 100 pour que la proportion observée « tombe » dans cet intervalle.

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9.1 - Première propriété de la variable aléatoire moyenne arithmétique
9.2 - Seconde propriété de la variable aléatoire moyenne arithmétique : le théorème central limite
9.3 - Etude de la distribution normale (rappel)
9.4 - Application du théorème central limite. Intervalle de Pari (I. P.)
Résumé du chapitre
9.4.1 - Définition de l’intervalle de pari (I. P.) d’une moyenne observée
9.4.2 - Les facteurs de dépendance de la longueur de l’intervalle de pari (IP)
9.4.3 - L’intervalle de pari d’une variable aléatoire