Chapitre 9 - Fluctuations de la moyenne observée : la variable aléatoire moyenne arithmétique

9.4 - Application du théorème central limite. Intervalle de Pari (I. P.)

9.4.1 - Définition de l’intervalle de pari (I. P.) d’une moyenne observée

On considère une variable aléatoire de moyenne « vraie » μ et de variance « vraie » σ².

On sait que pour n grand (n ≥ 30, ou nΠ et n(1 - Π) ≥ 5) :

la variable est approximativement distribuée selon N (0, 1).

On se pose le problème suivant. On s’apprête à réaliser une série d’expériences, c’est-à-dire à mesurer la variable X sur un échantillon de n individus. Peut-on construire un intervalle [a, b] tel que la probabilité pour que la moyenne observée que l’on s’apprête à calculer appartienne à cet intervalle ait une valeur donnée ? Il s’agit donc de construire un intervalle qui contienne avec une probabilité fixée la valeur observée que l’on va obtenir.

Il s’agit donc de trouver deux valeurs a et b telles que .

Exemple :

Un tel intervalle [a, b] s’appelle INTERVALLE DE PARI (I. P.) de niveau 1 - α, ou encore intervalle de pari au risque α, ou encore INTERVALLE DE FLUCTUATION

La figure 7 illustre le problème posé.

Figure 7 : le problème de l’intervalle de pari

Ce problème admet plusieurs solutions : sauf besoin spécifique on choisit un intervalle symétrique autour de μ (ce qui est naturel compte tenu de la distribution de M_n).

Résolution :

La valeur λ inconnue doit vérifier :

Si le théorème central limite s’applique, l’expression ci-dessus suit une loi N(0, 1) ; notons-la Z. Alors λ doit vérifier . C’est le u_α de la table.

Finalement : λ = u_α

et

Intervalle de Pari (I. P.) de la moyenne observée d’une variable de moyenne « vraie » μ, de variance « vraie » σ2 construite sur un échantillon de taille n

Exemple : α = 0,05 u_α= 1,96

Les conditions de validité de cette construction sont celles du théorème central limite, c’est-à-dire n ≥ 30 pour les variables continues non normales et  nΠ, n(1 - Π) ≥ 5 pour les variables de Bernoulli.

Cas d’une variable de Bernoulli : μ est notée Π, σ² = Π (1 - Π). Donc

L’interprétation de l’intervalle de pari est fondamentale. Si cet intervalle est bien calculé, on est quasi sûr, avec une probabilité 1 - α (ici 0,95), d’obtenir une valeur de la moyenne observée comprise dans cet intervalle. En pariant que la valeur va tomber dans cet intervalle, on se trompera (en moyenne) dans cinq pour cent des expériences.

Exemple :

On a des raisons de penser que la fréquence d’une maladie dans la population est Π = 0,2. L’intervalle de pari de la moyenne observée (proportion observée) calculée sur 64 individus au niveau 0,95 est :

Il y a 95 chances sur 100 pour que la proportion observée « tombe » dans cet intervalle.