Chapitre 9 - Fluctuations de la moyenne observée : la variable aléatoire moyenne arithmétique

9.3 - Etude de la distribution normale (rappel)

La distribution limite que l’on a mise en évidence dépeint une variable aléatoire d’espérance mathématique 0 et de variance « vraie » 1, que l’on a appelée distribution normale centrée réduite ou N(0, 1).

La densité de probabilité est donnée par une fonction d’équation  et dont l’allure est représentée sur la figure 5.

Ses principales caractéristiques morphologiques sont les suivantes :

• elle est symétrique,
• elle présente deux points d’inflexion en x = 1 et x = -1

Par ailleurs, pour faciliter les calculs de probabilité relatifs à cette variable, des tables ont été construites qui donnent le lien entre α et u_α, où ces valeurs ont le sens suivant (voir figure 5) :

En particulier, pour α = 0,05, la valeur u_α lue dans la table est 1,96, d’où u_0,05 = 1,96

On peut voir facilement que toute probabilité s’obtient à partir d’une telle table, quelles que soient les valeurs de a et b.

Figure 5 : loi normale centrée réduite

Remarque

Sur la base de cette loi centrée réduite, on définit toute une famille de lois de la façon suivante :

Si X est distribuée selon une loi normale centrée réduite (notation X ~ N (0, 1)),
alors la variable Y = σ X + μ, dont l’espérance est μ et la variance σ², est distribuée selon une loi normale d’espérance μ et de variance σ².
On écrit Y ~ N (μ, σ²)

A l’inverse, si on dit que X ~ N (μ, σ²)

cela veut dire que   (variable centrée réduite associée).

Exemple

La figure 6. présente l’aspect de deux distributions normales l’une N(0, 1), l’autre N(2,9 , 4).

Figure 6 : exemple de lois normales

Résumé et précisions (théorème central limite)

Si n est suffisamment grand, X ayant pour moyenne « vraie » μ, pour variance « vraie » σ², alors :




ou, de façon équivalente,

où la notation ~ se lit : « est distribué comme » ou « suit une distribution ».

1. La distribution de M_n est exactement une loi normale (la mention à peu près est inutile), quel que soit  n, si X elle-même est gaussienne (i.e. est distribuée normalement).
2. si X n’est pas gaussienne :
   • si X est une variable quantitative autre que Bernoulli, la condition de validité usuelle est n ≥ 30
   • si X est une variable de Bernoulli (valeurs 0 et 1), la condition usuelle de validité est
     
     
     
     En outre dans ce cas, μ = Π, σ²= Π (1 - Π) si bien que l’on aura :
     
     
     
     
     ou, de façon équivalente,