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Biostatistique

Sommaire

Avant-propos

Introduction

1 - Statistique(s) et Probabilité(s)

2 - Rappels mathématiques

3 - Eléments de calcul des Probabilités

4 - Probabilité Conditionnelle ; Indépendance et Théorème de Bayes

5 - Evaluation de l’intérêt diagnostique des informations médicales

6 - Variables aléatoires

7 - Exemples de distributions

8 - Statistiques descriptives

9 - Etude de la variable aléatoire moyenne expérimentale

10 - Estimation - Intervalle de confiance

11 - Les tests d’hypothèses. Principes

12 - Quelques tests usuels

13 - Tests concernant des variables qualitatives

14 - Liaison entre deux variables continues : notion de corrélation

15 - Méthodologie des études épidémiologiques

A - Tables statistiques


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traduction HTML V2.8
V. Morice


Chapitre 9 - Fluctuations de la moyenne observée : la variable aléatoire moyenne arithmétique

 

9.3 - Etude de la distribution normale (rappel)

 

La distribution limite que l’on a mise en évidence dépeint une variable aléatoire d’espérance mathématique 0 et de variance « vraie » 1, que l’on a appelée distribution normale centrée réduite ou N(0, 1).

La densité de probabilité est donnée par une fonction d’équation  Image graphique373366.trsp.gif et dont l’allure est représentée sur la figure 5.

Ses principales caractéristiques morphologiques sont les suivantes :

  • elle est symétrique,
  • elle présente deux points d’inflexion en x = 1 et x = -1

Par ailleurs, pour faciliter les calculs de probabilité relatifs à cette variable, des tables ont été construites qui donnent le lien entre α et uα, où ces valeurs ont le sens suivant (voir figure 5) :

Image graphique374367.trsp.gif

En particulier, pour α = 0,05, la valeur uα lue dans la table est 1,96, d’où u0,05 = 1,96

On peut voir facilement que toute probabilité Image graphique375368.trsp.gif s’obtient à partir d’une telle table, quelles que soient les valeurs de a et b.

Image normaire.trsp.gif
Figure 5 : loi normale centrée réduite

Remarque
Sur la base de cette loi centrée réduite, on définit toute une famille de lois de la façon suivante :

Si X est distribuée selon une loi normale centrée réduite (notation X ~ N (0, 1)),
alors la variable Y = σ X + μ, dont l’espérance est μ et la variance σ2, est distribuée selon une loi normale d’espérance μ et de variance σ2.
On écrit Y ~ N (μ, σ2)

A l’inverse, si on dit que X ~ N (μ, σ2)

cela veut dire que  Image graphique377369.trsp.gif (variable centrée réduite associée).
Exemple
La figure 6. présente l’aspect de deux distributions normales l’une N(0, 1), l’autre N(2,9 , 4).
Image normx2.trsp.gif
Figure 6 : exemple de lois normales

Résumé et précisions (théorème central limite)
Si n est suffisamment grand, X ayant pour moyenne « vraie » μ, pour variance « vraie » σ2, alors :

Image graphique379370.trsp.gif


ou, de façon équivalente, Image graphique380371.trsp.gif

où la notation ~ se lit : « est distribué comme » ou « suit une distribution ».
  1. La distribution de Mn est exactement une loi normale (la mention à peu près est inutile), quel que soit  n, si X elle-même est gaussienne (i.e. est distribuée normalement).
  2. si X n’est pas gaussienne :
    • si X est une variable quantitative autre que Bernoulli, la condition de validité usuelle est n ≥ 30
    • si X est une variable de Bernoulli (valeurs 0 et 1), la condition usuelle de validité est

      Image graphique381372.trsp.gif

      En outre dans ce cas, μ = Π, σ2= Π (1 - Π) si bien que l’on aura :

      Image graphique382373.trsp.gif


      ou, de façon équivalente, Image graphique383374.trsp.gif

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9.1 - Première propriété de la variable aléatoire moyenne arithmétique
9.2 - Seconde propriété de la variable aléatoire moyenne arithmétique : le théorème central limite
9.3 - Etude de la distribution normale (rappel)
9.4 - Application du théorème central limite. Intervalle de Pari (I. P.)
Résumé du chapitre