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Biostatistique

Sommaire

Avant-propos

Introduction

1 - Statistique(s) et Probabilité(s)

2 - Rappels mathématiques

3 - Eléments de calcul des Probabilités

4 - Probabilité Conditionnelle ; Indépendance et Théorème de Bayes

5 - Evaluation de l’intérêt diagnostique des informations médicales

6 - Variables aléatoires

7 - Exemples de distributions

8 - Statistiques descriptives

9 - Etude de la variable aléatoire moyenne expérimentale

10 - Estimation - Intervalle de confiance

11 - Les tests d’hypothèses. Principes

12 - Quelques tests usuels

13 - Tests concernant des variables qualitatives

14 - Liaison entre deux variables continues : notion de corrélation

15 - Méthodologie des études épidémiologiques

A - Tables statistiques


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traduction HTML V2.8
V. Morice


Chapitre 9 - Fluctuations de la moyenne observée : la variable aléatoire moyenne arithmétique

 

9.2 - Seconde propriété de la variable aléatoire moyenne arithmétique : le théorème central limite

 

On souhaiterait comparer, par curiosité, les distributions de plusieurs moyennes arithmétiques, correspondant à diverses variables aléatoires. Par exemple la taille, la glycémie. Ces distributions sont différentes, ne serait-ce qu’à cause des différences entre moyennes et variances « vraies ». Pour s’abstraire de ces premières différences, considérons la variable centrée réduite associée, soit pour chaque variable considérée :

Image graphique371364.trsp.gif

Maintenant toutes ces variables ont en commun leur espérance (0) et leur variance (1). Il se passe quelque chose d’extraordinaire : lorsque  n est suffisamment grand, elles finissent par avoir en commun leur distribution, leur densité de probabilité.

Cela signifie que les distributions de toutes ces variables (moyennes arithmétiques centrées réduites issues de variables aléatoires différentes) finissent par coïncider, lorsque  n est suffisamment grand, avec une distribution particulière unique. Cette distribution s’appelle LOI NORMALE, et puisque sa moyenne « vraie » est nulle et sa variance « vraie » est 1, on l’appelle LOI NORMALE CENTREE REDUITE ou encore distribution de Gauss ou de Laplace-Gauss (1800).

On la notera schématiquement N(0, 1) où 0 rappelle la valeur de la moyenne « vraie », 1 la valeur de la variance « vraie ».

Donc la propriété ci-dessus - connue sous le nom de théorème central limite - s’énonce :

THEOREME CENTRAL LIMITE

Soit X une variable aléatoire quantitative d’espérance mathématique  μ, de variance « vraie » σ2. Soit Mn la variable aléatoire moyenne arithmétique associée à  X construite sur n répétitions.

La distribution limite de la variable aléatoire Image graphique372365.trsp.gif est la distribution normale centrée réduite notée N(0,1).

Il faut bien mesurer la portée de cette propriété. Quel que soit le phénomène étudié - apprécié par la variable aléatoire que l’on étudie - il suffit de connaître la moyenne et la variance de la variable pour déduire la distribution (la densité de probabilité) - c’est-à-dire l’expression la plus achevée des propriétés de variabilité - de la variable aléatoire moyenne arithmétique calculée sur un échantillon de taille suffisante. Nous reviendrons plus loin, au paragraphe résumé et précisions, sur cette notion vague « taille suffisante ». Or c’est peu de connaître moyenne, variance (ou écart-type) seulement - ex. : pour le poids à la naissance μ = 3 kg, σ = 1,2 kg.

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9.1 - Première propriété de la variable aléatoire moyenne arithmétique
9.2 - Seconde propriété de la variable aléatoire moyenne arithmétique : le théorème central limite
9.3 - Etude de la distribution normale (rappel)
9.4 - Application du théorème central limite. Intervalle de Pari (I. P.)
Résumé du chapitre