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Biostatistique

Sommaire

Avant-propos

Introduction

1 - Statistique(s) et Probabilité(s)

2 - Rappels mathématiques

3 - Eléments de calcul des Probabilités

4 - Probabilité Conditionnelle ; Indépendance et Théorème de Bayes

5 - Evaluation de l’intérêt diagnostique des informations médicales

6 - Variables aléatoires

7 - Exemples de distributions

8 - Statistiques descriptives

9 - Etude de la variable aléatoire moyenne expérimentale

10 - Estimation - Intervalle de confiance

11 - Les tests d’hypothèses. Principes

12 - Quelques tests usuels

13 - Tests concernant des variables qualitatives

14 - Liaison entre deux variables continues : notion de corrélation

15 - Méthodologie des études épidémiologiques

A - Tables statistiques


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traduction HTML V2.8
V. Morice


Chapitre 8 - Statistiques descriptives

 

8.5 - Cas particulier d’une variable à deux modalités - Proportion

 

On est très souvent amené à considérer des variables à deux modalités, c’est-à-dire des expériences aléatoires à deux événements élémentaires.

Exemples :

  • maladie : maladie présente - maladie absente
  • signe clinique : présent - absent
  • traitement : individu traité - individu non traité

Or on peut transformer une telle variable en variable quantitative, sans restriction de généralité, par un artifice de codage :

  • une des modalités est codée avec la valeur numérique 0 ;
  • l’autre modalité est codée avec la valeur numérique 1.

Une telle variable s’appelle variable de Bernoulli.

Notons X cette variable.

Elle est complètement décrite par la donnée de Pr(valeur de la variable = 1) car

Pr(valeur de la variable = 1) + Pr(valeur de la variable = 0) = 1.

On utilise la notation conventionnelle suivante : Pr(valeur de la variable = 1) SE NOTE Π.

8.5.1 Expression de l’espérance mathématique de X

Utilisant l’expression générale de l’espérance mathématique, et remarquant que val1 = 0, val2 =1, on obtient :

Image graphique349342.trsp.gif

Ainsi, μ = Π = Pr(valeur de la variable = 1) = probabilité de la modalité codée 1 = PROPORTION VRAIE des individus présentant la modalité 1.

8.5.2 Expression de la variance de X

Image graphique350343.trsp.gif

8.5.3 Interprétation de la moyenne observée

Image graphique351344.trsp.gif

Ainsi, m coïncide avec la fréquence observée de la modalité codée 1. Cette fréquence sera notée p et s’appelle de façon naturelle PROPORTION OBSERVEE d’individus présentant la modalité 1.

Exemple
Dans le cas de l’étude d’un signe clinique, en codant 1 la présence du signe clinique, m (donc  p) sera la fréquence observée de la présence du signe ou encore le pourcentage des individus présentant le signe (à un facteur 100 près).
En résumé
  • si X est une variable de Bernoulli,
    • sa moyenne « vraie » = Π
    • sa variance « vraie »  = Π(1 - Π)
  • UNE PROPORTION OBSERVEE EST UNE MOYENNE OBSERVEE.

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8.1 - Rappels et compléments
8.2 - Représentation complète d’une série d’expériences
8.3 - Représentation simplifiée d’une série d’expériences
8.4 - Reformulation de la moyenne et de la variance observées
8.5 - Cas particulier d’une variable à deux modalités - Proportion
8.6 - Conclusion : la variable aléatoire moyenne arithmétique
Résumé du chapitre
8.5.1 - Expression de l’espérance mathématique de X
8.5.2 - Expression de la variance de X
8.5.3 - Interprétation de la moyenne observée