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Biostatistique

Sommaire

Avant-propos

Introduction

1 - Statistique(s) et Probabilité(s)

2 - Rappels mathématiques

3 - Eléments de calcul des Probabilités

4 - Probabilité Conditionnelle ; Indépendance et Théorème de Bayes

5 - Evaluation de l’intérêt diagnostique des informations médicales

6 - Variables aléatoires

7 - Exemples de distributions

8 - Statistiques descriptives

9 - Etude de la variable aléatoire moyenne expérimentale

10 - Estimation - Intervalle de confiance

11 - Les tests d’hypothèses. Principes

12 - Quelques tests usuels

13 - Tests concernant des variables qualitatives

14 - Liaison entre deux variables continues : notion de corrélation

15 - Méthodologie des études épidémiologiques

A - Tables statistiques


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traduction HTML V2.8
V. Morice


Chapitre 8 - Statistiques descriptives

 

8.4 - Reformulation de la moyenne et de la variance observées

 

8.4.1 Reformulation de la moyenne observée

Prenons le cas d’une variable quantitative discrète.

Les données sont notées x1, ..., xn.

Les k valeurs possibles de la variable sont notées val1,val2, ...., valk.

Exemple d’un jet de dé : val1 = 1, ..., val6 = 6

Chaque donnée xi coïncide avec une certaine valeur val j

Par exemple pour le jet de dé, on peut avoir

  • jet n?1 ; x1 = 1 = val1
  • jet n?2 ; x2 = 1 = val1
  • jet n?3 ; x3 = 4 = val4
  • jet n?4 ; x4 = 3 = val3
  • jet n?5 ; x5 = 6 = val6
  • jet n?6 ; x6 = 1 = val1
  • jet n?7 ; x7 = 2 = val2
  • jet n?8 ; x8 = 5 = val5
  • jet n?9 ; x9 = 6 = val6

Alors :Image graphique342335.trsp.gif

nj est le nombre de fois où une observation coïncide avec valj

Dans notre exemple du jet de dé, on a : n1 = 3, n2 = 1, n3 = 1, n4 = 1, n5 = 1, n6 = 2

Finalement Image graphique343336.trsp.gif

Mais Image graphique344337.trsp.gif est une approximation de Pr(face marquée = valj)

Ainsi m est une estimation - une appréciation - de :

Image graphique345338.trsp.gif

c’est-à-dire une appréciation de l’espérance mathématique de la variable.

On raccorde ainsi une moyenne observée à une grandeur descriptive du phénomène étudié, à une grandeur dite « théorique » ou « vraie ».

On peut dire ceci : la répétition des expériences vise à estimer  Pr(valeur de la variable = certain niveau). La moyenne observée permet d’estimer quelque chose de plus grossier, une combinaison de toutes ces probabilités, précisément l’espérance mathématique

Image graphique346339.trsp.gif

C’est la raison pour laquelle dans la suite on utilisera également la terminologie MOYENNE « VRAIE » ou MOYENNE THEORIQUE de la variable pour parler de l’espérance mathématique.

Retenons :

  ESPERANCE MATHEMATIQUE,        
  MOYENNE « VRAIE »,        
  MOYENNE THEORIQUE        
  sont SYNONYMES. Ce sont des grandeurs théoriques.        

Remarque
La même analyse peut être faite - mais l’expression est un peu plus délicate - dans le cas d’une variable quantitative continue. La moyenne observée approxime là encore l’espérance mathématique.

8.4.2 Reformulation de la variance observée

De la même façon on peut obtenir le résultat suivant : s2 est une approximation de la grandeur Image graphique347340.trsp.gif

Cette expression, introduite dans le chapitre 6 sous le nom de variance sera souvent dénommée dans la suite VARIANCE « VRAIE » ou VARIANCE THEORIQUE de la variable.

Dans le cas d’une variable continue, la variance observée  s2 approxime :

Image graphique348341.trsp.gif

LES DIFFERENCES ENTRE CES NOTIONS DE MOYENNE ET VARIANCE « VRAIES », ET DE MOYENNE ET VARIANCE OBSERVEES SONT ESSENTIELLES ; NOUS ENGAGEONS LE LECTEUR A BIEN LES COMPRENDRE AVANT DE POURSUIVRE.

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8.1 - Rappels et compléments
8.2 - Représentation complète d’une série d’expériences
8.3 - Représentation simplifiée d’une série d’expériences
8.4 - Reformulation de la moyenne et de la variance observées
8.5 - Cas particulier d’une variable à deux modalités - Proportion
8.6 - Conclusion : la variable aléatoire moyenne arithmétique
Résumé du chapitre
8.4.1 - Reformulation de la moyenne observée
8.4.2 - Reformulation de la variance observée