Chapitre 7 - Exemples de distributions

7.1 - Lois discrètes

Les lois décrites ici ne concernent que des variables dont les valeurs sont des nombres entiers.

7.1.1 Loi de Bernoulli

On considère une expérience n’ayant que deux résultats possibles, par exemple succès et échec (ou présence et absence d’une certaine caractéristique). On introduit la variable aléatoire  X qui associe la valeur 0 à l’échec (ou à l’absence de la caractéristique) et la valeur 1 au succès (ou à la présence de la caractéristique). Cette variable aléatoire est appelée variable de Bernoulli.

Distribution de X

Appelons Π la probabilité de l’événement succès :
Pr({succès}) = Pr(X = 1) = Π
d’où
Pr({échec}) = Pr(X = 0) = 1 - Π

Espérance de X

Variance de X

7.1.2 Loi binomiale

Définition

Soient les épreuves répétées et indépendantes d’une même expérience de Bernoulli. Chaque expérience n’a que deux résultats possibles : succès ou échec. Comme précédemment, appelons Π la probabilité de l’événement élémentaire succès. A cette expérience multiple on associe une variable aléatoire  X qui mesure le nombre de succès obtenus.

Distribution de X

On montre aisément que la probabilité d’avoir k succès lors de n épreuves répétées est


Rappel
pour tout n entier positif
0! = 1 par définition

Remarques

1. La probabilité de n’avoir aucun succès au cours de  n épreuves (k = 0) est (1-Π)ⁿ ; la probabilité d’avoir au moins un succès est donc 1 - (1-Π)ⁿ (un succès ou plus)
   
2. est souvent noté ou
   
   Les s’appellent coefficients du binôme.
   
   En effet ils interviennent dans le développement du binôme selon la formule
   
   
   
   Exercice :
   utiliser cette formule pour vérifier que
3. En appliquant la formule du binôme précédente on retrouve que la somme des probabilités pour toutes les valeurs de X est égale à 1 :
   
   
   

Exemples

1. On jette 6 fois une pièce bien équilibrée ; on suppose que face est un succès. On a donc
   Π = 1/2 et n = 6
   1. Probabilité que l’on ait exactement 2 faces
      
      
      
      
      
   2. Probabilité d’avoir 4 faces ou plus (au moins 4 faces)
      C’est aussi la probabilité d’avoir au plus 2 piles (0, 1 ou 2 piles)
      
      
      
      
      
      
      
      
      
2. On jette 7 fois un dé équilibré et on considère que tirer 5 ou 6 est un succès. Calculer
   1. la probabilité pour qu’on ait 3 succès exactement
      
      
      
      
      
   2. la probabilité de n’avoir aucun succès
      
      
      

Propriétés

La fonction de probabilité Pr(X= k) dépend des 2 paramètres (ou constantes) n et Π. C’est une distribution discrète qui prend les valeurs suivantes :

k	0	1	2	........	n
Pr(X= k)	(1-Π)n				Πn

On dit que X est distribuée selon une loi binomiale B(n, Π).
On peut montrer que

Distribution binomiale B(n, Π)
Espérance
Variance
Ecart-type

7.1.3 Loi de Poisson

La loi de Poisson (due à Siméon Denis Poisson en 1837) est la loi du nombre d’événements observé pendant une période de temps donnée dans le cas où ces événements sont indépendants et faiblement probables. Elle peut s’appliquer au nombre d’accidents, à l’apparition d’anomalies diverses, à la gestion des files d’attentes, au nombre de colonies bactériennes dans une boîte de Pétri, etc.

Définition

Soit X la variable aléatoire représentant le nombre d’apparitions indépendantes d’un événement faiblement probable dans une population infinie. La probabilité d’avoir k apparitions de l’événement est



Cette loi dépend d’un paramètre λ, nombre réel strictement positif.
Les nombres k possibles sont toutes les valeurs entières 0, 1, 2, etc. Cependant, lorsque k est suffisamment grand, la probabilité correspondante devient extrèmement faible.

Propriétés

• On peut montrer que

  Loi de Poisson
  Espérance
  Variance
  Ecart-type

  
  
  
  La démonstration utilise le fait que
  
• Si deux variables aléatoires indépendantes X₁ et X₂ sont distribuées selon des lois de Poisson de paramètres λ₁ et λ₂, alors la variable X₁+X₂ est distribuée selon une loi de Poisson de paramètre λ₁+λ₂.

Remarques

Si on connaît la probabilité de n’observer aucun événement Pr(X=0) = p :

• D’après la formule,
  On en déduit :
  
  
• ,
  
  ,
  
  ,
  ......
  
  
  On peut ainsi calculer facilement de proche en proche les probabilités des diverses valeurs de k.

Lien avec la loi binomiale

Si une variable aléatoire X est distribuée selon une loi binomiale B(n, Π), on montre que si Π est petit (en pratique inférieur à 0,1) et n assez grand (supérieur à 50), la loi binomiale peut être approximée par une loi de Poisson de paramètre λ=nΠ.
Les calculs sont plus simples avec la loi de Poisson qu’avec la binomiale.
Notons que puisque X est distribuée selon une loi binomiale, ses valeurs possibles ne peuvent dépasser n, alors que l’approximation par la loi de Poisson autorise des valeurs supérieures. Cependant le calcul fournit des probabilités très faibles pour ces valeurs aberrantes.