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Biostatistique

Sommaire

Avant-propos

Introduction

1 - Statistique(s) et Probabilité(s)

2 - Rappels mathématiques

3 - Eléments de calcul des Probabilités

4 - Probabilité Conditionnelle ; Indépendance et Théorème de Bayes

5 - Evaluation de l’intérêt diagnostique des informations médicales

6 - Variables aléatoires

7 - Exemples de distributions

8 - Statistiques descriptives

9 - Etude de la variable aléatoire moyenne expérimentale

10 - Estimation - Intervalle de confiance

11 - Les tests d’hypothèses. Principes

12 - Quelques tests usuels

13 - Tests concernant des variables qualitatives

14 - Liaison entre deux variables continues : notion de corrélation

15 - Méthodologie des études épidémiologiques

A - Tables statistiques


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traduction HTML V2.8
V. Morice


Chapitre 7 - Exemples de distributions

 

7.2 - Lois continues

7.2.1 - Loi normale

 

7.2.1.1 Définition

La distribution normale, ou de Laplace-Gauss, appelée aussi gaussienne, est une distribution continue qui dépend de deux paramètres μ et σ. On la note N(μ, σ2). Le paramètre μ peut être quelconque mais σ est positif. Cette distribution est définie par :

Image graphique299296.trsp.gif

C’est une des lois les plus importantes, sinon la plus importante comme vous le verrez à l’occasion du théorème central limite.

7.2.1.2 Propriétés

Allure de la courbe
La loi normale, notée N(μ, σ2), est symétrique par rapport à la droite d’abscisse μ.
Exemples :
Image normoys.trsp.gif
Figure 2 : N(μ, 1) pour les valeurs de μ -2 ; 0 et 2

Image normvars.trsp.gif
Figure 3 : N(0, σ2) pour les valeurs de σ 0,3 ; 1 et 2

Caractéristiques
Loi normale N(μ, σ2)
Espérance μ
Variance σ2
Ecart-type σ

La distribution normale centrée réduite
On dit que la distribution est centrée si son espérance μ est nulle ; elle est dite réduite si sa variance σ2(et son écart-type σ) est égale à 1. La distribution normale centrée réduite N(0, 1) est donc définie par la formule

Image graphique302297.trsp.gif

Image norm01.trsp.gif
Figure 4 : loi normale centrée réduite N(0, 1)

Les probabilités correspondant aux divers intervalles ont été calculées et regroupées dans une table numérique. Ainsi la table A.1 (en fin de polycopié) permet, à partir d’une probabilité α donnée, de trouver les bornes -uα, +uα d’un intervalle symétrique autour de 0, tel que
Image graphique304298.trsp.gif

ou encore, à partir de uα, de trouver α.
D’où par exemple :
Image graphique305299.trsp.gif
Image graphique306300.trsp.gif
On observe ainsi que environ 68 % de la surface est comprise entre (-1 et +1), 95 % entre (-2 et +2) et 99 % entre (-3 et +3) (la table A.1 ne permet pas de trouver des valeurs aussi précises que celles de la figure 4).
Transformation d’une loi normale quelconque en loi normale centrée réduite
Soit une variable X distribuée selon une loi normale d’espérance μ et d’écart-type σ.

Alors la variable Image graphique307301.trsp.gif est distribuée selon une loi normale centrée réduite.

Les probabilités obtenues pour la loi centrée réduite permettent de calculer les probabilités pour une loi normale quelconque, à l’aide de cette transformation :

Image graphique308302.trsp.gif.

Soit par exemple à calculer Image graphique309303.trsp.gif. Par la transformation, on a Image graphique310304.trsp.gif avec

Image graphique311305.trsp.gif et Image graphique312306.trsp.gif.

La probabilité cherchée, sur la variable X, revient donc à lire sur la table de la loi centrée réduite (variable t), la probabilité de se trouver entre c et d.
On remarque en particulier que Image graphique313307.trsp.gif
Approximation de la distribution binomiale par la loi normale
Lorsque n est grand, et que Π et 1−Π ne sont pas trop proches de 0 (en pratique si Image graphique314308.trsp.gifet Image graphique315309.trsp.gif), alors on constate que la distribution binomiale tend vers la distribution normale de moyenne nΠ et de variance nΠ(1−Π) ; plus précisément, pour une variable K distribuée selon une loi binomiale B(n, Π) et une variable X distribuée selon une loi normale N(μ = nΠ, σ2 = nΠ(1−Π)), on a :
Image graphique316310.trsp.gif
On choisit l’artifice de représenter graphiquement Pr(k) par un rectangle dont la base est [k - 0,5, k + 0,5] et la surface est  Pr(k) pour comparer la loi discrète  Pr(k) et la loi normale continue.
Image graphique317311.trsp.gif

Approximation de la loi de Poisson par la loi normale
Lorsque son paramètre λ est grand (en pratique supérieur à 25), une loi de Poisson peut être approchée par une loi normale d’espérance λ et de variance λ.
Le principe est analogue à celui utilisé pour l’approximation de la loi binomiale par la loi normale.

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7.1 - Lois discrètes
7.2 - Lois continues
7.3 - Application de la Loi de Poisson à l’interprétation d’un risque sanitaire possible qui n’a pas encore été observé
7.2.1 - Loi normale
7.2.2 - Loi du χ2 (chi-2)
7.2.3 - Loi de Student (hors programme)
7.2.4 - Loi exponentielle (hors programme)
7.2.1.1 - Définition
7.2.1.2 - Propriétés