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Biostatistique

Sommaire

Avant-propos

Introduction

1 - Statistique(s) et Probabilité(s)

2 - Rappels mathématiques

3 - Eléments de calcul des Probabilités

4 - Probabilité Conditionnelle ; Indépendance et Théorème de Bayes

5 - Evaluation de l’intérêt diagnostique des informations médicales

6 - Variables aléatoires

7 - Exemples de distributions

8 - Statistiques descriptives

9 - Etude de la variable aléatoire moyenne expérimentale

10 - Estimation - Intervalle de confiance

11 - Les tests d’hypothèses. Principes

12 - Quelques tests usuels

13 - Tests concernant des variables qualitatives

14 - Liaison entre deux variables continues : notion de corrélation

15 - Méthodologie des études épidémiologiques

A - Tables statistiques


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traduction HTML V2.8
V. Morice


Chapitre 7 - Exemples de distributions

 

7.2 - Lois continues

7.2.2 - Loi du χ2 (chi-2)

 

7.2.2.1 Définition

C’est une loi dérivée de la loi normale, très importante pour ses applications en statistiques comme nous le reverrons dans les tests.

Soient X1, ..., Xn des variables aléatoires indépendantes, chacune étant distribuée selon une loi normale centrée réduite :

Image graphique318312.trsp.gif

La distribution de Image graphique319313.trsp.gif (somme des carrés des Xi) est appelée loi de χ2 à n degrés de liberté (en abrégé d. d. l.), que l’on note χ2(n) où n est le nombre de d. d. l., seul paramètre de la loi.

Loi du χ2(n)
Espérance n
Variance 2n
Ecart-type Image graphique320314.trsp.gif 

7.2.2.2 Propriétés

  1. Allure de la distribution de χ2(n) pour différentes valeurs de n
    Image exchi2.trsp.gif


    Pour n = 1, la courbe décroît de +∞ vers zéro de façon monotone ; pour n = 2, la courbe décroît de façon monotone de 0,5 à zéro ; pour n > 2, la courbe part de 0, a son maximum pour x = n - 2, puis redescend vers zéro.
  2. Propriété asymptotique
    La loi d’une variable X suivant un χ2(n) tend vers une loi normale lorsque Image graphique322315.trsp.gif. On a donc, après avoir centré et réduit cette variable :

    Image graphique323316.trsp.gif

    NB : Dans la pratique, on utilise plutôt la variable Image graphique324317.trsp.gif dont on montre qu’elle est à peu près distribuée selon une loi normale centrée réduite dès que  n > 30.
  3. Tables
    De même que pour la loi normale centrée réduite, une table existe pour la loi du χ2 (voir en fin de polycopié, table A.4). Cette table indique pour une probabilité α donnée, et un degré de liberté n donné, la valeur Kn telle que Image graphique325318.trsp.gif.

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7.1 - Lois discrètes
7.2 - Lois continues
7.3 - Application de la Loi de Poisson à l’interprétation d’un risque sanitaire possible qui n’a pas encore été observé
7.2.1 - Loi normale
7.2.2 - Loi du χ2 (chi-2)
7.2.3 - Loi de Student (hors programme)
7.2.4 - Loi exponentielle (hors programme)
7.2.2.1 - Définition
7.2.2.2 - Propriétés