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Biostatistique

Sommaire

Avant-propos

Introduction

1 - Statistique(s) et Probabilité(s)

2 - Rappels mathématiques

3 - Eléments de calcul des Probabilités

4 - Probabilité Conditionnelle ; Indépendance et Théorème de Bayes

5 - Evaluation de l’intérêt diagnostique des informations médicales

6 - Variables aléatoires

7 - Exemples de distributions

8 - Statistiques descriptives

9 - Etude de la variable aléatoire moyenne expérimentale

10 - Estimation - Intervalle de confiance

11 - Les tests d’hypothèses. Principes

12 - Quelques tests usuels

13 - Tests concernant des variables qualitatives

14 - Liaison entre deux variables continues : notion de corrélation

15 - Méthodologie des études épidémiologiques

A - Tables statistiques


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traduction HTML V2.8
V. Morice


Chapitre 6 - Variables aléatoires

 

6.1 - Définition d’une variable aléatoire

 

Considérons un ensemble fondamental E correspondant à une certaine expérience. Les éléments de E, résultats possibles de l’expérience, ne sont généralement pas des nombres. Il est cependant utile de faire correspondre un nombre à chaque élément de E, en vue de faire ensuite des calculs. Pour un jet de dé, il semble naturel de faire correspondre à la face obtenue par le jet, le nombre de points qu’elle porte, mais ce n’est pas une obligation. Si on jette 2 dés, on s’intéressera par exemple à la somme des points obtenus. Pour une carte à jouer, il faut convenir d’une valeur pour chaque carte.

Une variable aléatoire X, sur un ensemble fondamental E, est une application de E dans  : à tout résultat possible de l’expérience (à tout élément de E), la variable aléatoire X fait correspondre un nombre.

Lorsque E est fini ou infini dénombrable, toute application de E dans est une variable aléatoire.

Lorsque E est non dénombrable, il existe certaines applications de E dans qui ne sont pas des variables aléatoires. En effet, la définition rigoureuse d’une variable aléatoire X impose que tout intervalle de soit l’image d’un événement de E par l’application X. Cette condition est vérifiée pour toute application X si E est fini ou dénombrable, puisque toute partie de E est un événement. Ce n’est plus vrai si E est non dénombrable. Heureusement, les applications choisies naturellement sont des variables aléatoires.

On parle de variable aléatoire discrète lorsque la variable est une application de E dans un sous-ensemble discret de , le plus souvent N ou une partie de N. On parle sinon de variable aléatoire continue.

Pour un nombre réel a donné, l’événement constitué de tous les résultats ξ d’expérience tels que X(ξ) = a est noté [X(ξ) = a], ou, en abrégé, X = a.

Pour deux nombres réels a et b (a ≤ b), l’événement constitué de tous les résultats ξ d’expérience tels que a ≤ X(ξ) ≤ b est noté [a ≤ X(ξ) ≤ b] ou, en abrégé, a ≤ X ≤ b.

Si X et Y sont des variables aléatoires définies sur le même ensemble fondamental  E, et si k est une constante, on peut montrer que les fonctions suivantes sont aussi des variables aléatoires :

(X + Y)(ξ) = X(ξ) + Y(ξ) (X + k)(ξ) = X(ξ) + k  
(kX)(ξ) = kX(ξ) (XY)(ξ) = X(ξ) Y(ξ)  
pour tout élément ξ de E.    
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6.1 - Définition d’une variable aléatoire
6.2 - Variables aléatoires finies
6.3 - Variables infinies dénombrables (hors programme)
6.4 - Variables aléatoires continues
6.5 - Extension de la notion de variable aléatoire