Chapitre 6 - Variables aléatoires

6.1 - Définition d’une variable aléatoire

Considérons un ensemble fondamental E correspondant à une certaine expérience. Les éléments de E, résultats possibles de l’expérience, ne sont généralement pas des nombres. Il est cependant utile de faire correspondre un nombre à chaque élément de E, en vue de faire ensuite des calculs. Pour un jet de dé, il semble naturel de faire correspondre à la face obtenue par le jet, le nombre de points qu’elle porte, mais ce n’est pas une obligation. Si on jette 2 dés, on s’intéressera par exemple à la somme des points obtenus. Pour une carte à jouer, il faut convenir d’une valeur pour chaque carte.

Une variable aléatoire X, sur un ensemble fondamental E, est une application de E dans ℜ : à tout résultat possible de l’expérience (à tout élément de E), la variable aléatoire X fait correspondre un nombre.

Lorsque E est fini ou infini dénombrable, toute application de E dans ℜ est une variable aléatoire.

Lorsque E est non dénombrable, il existe certaines applications de E dans ℜ qui ne sont pas des variables aléatoires. En effet, la définition rigoureuse d’une variable aléatoire X impose que tout intervalle de ℜ soit l’image d’un événement de E par l’application X. Cette condition est vérifiée pour toute application X si E est fini ou dénombrable, puisque toute partie de E est un événement. Ce n’est plus vrai si E est non dénombrable. Heureusement, les applications choisies naturellement sont des variables aléatoires.

On parle de variable aléatoire discrète lorsque la variable est une application de E dans un sous-ensemble discret de ℜ, le plus souvent N ou une partie de N. On parle sinon de variable aléatoire continue.

Pour un nombre réel a donné, l’événement constitué de tous les résultats ξ d’expérience tels que X(ξ) = a est noté [X(ξ) = a], ou, en abrégé, X = a.

Pour deux nombres réels a et b (a ≤ b), l’événement constitué de tous les résultats ξ d’expérience tels que a ≤ X(ξ) ≤ b est noté [a ≤ X(ξ) ≤ b] ou, en abrégé, a ≤ X ≤ b.

Si X et Y sont des variables aléatoires définies sur le même ensemble fondamental  E, et si k est une constante, on peut montrer que les fonctions suivantes sont aussi des variables aléatoires :