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Biostatistique

Sommaire

Avant-propos

Introduction

1 - Statistique(s) et Probabilité(s)

2 - Rappels mathématiques

3 - Eléments de calcul des Probabilités

4 - Probabilité Conditionnelle ; Indépendance et Théorème de Bayes

5 - Evaluation de l’intérêt diagnostique des informations médicales

6 - Variables aléatoires

7 - Exemples de distributions

8 - Statistiques descriptives

9 - Etude de la variable aléatoire moyenne expérimentale

10 - Estimation - Intervalle de confiance

11 - Les tests d’hypothèses. Principes

12 - Quelques tests usuels

13 - Tests concernant des variables qualitatives

14 - Liaison entre deux variables continues : notion de corrélation

15 - Méthodologie des études épidémiologiques

A - Tables statistiques


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traduction HTML V2.8
V. Morice


Chapitre 6 - Variables aléatoires

 

 

6.3 Variables infinies dénombrables (hors programme)

Tout ce qui a été vu précédemment dans le cas où  E est fini (E = {s1, s2, ..., sn}) se généralise (nous ne verrons pas les démonstrations) au cas où E est infini dénombrable ; on aura par exemple

Image graphique236234.trsp.gif

La somme converge à l’infini vers E(X), toutes les autres propriétés sont conservées, les sommes devenant des séries.

6.4 Variables aléatoires continues

La généralisation au continu est délicate et même difficile si on ne dispose pas d’outils mathématiques hors du champ de ce cours.

Nous nous contenterons de procéder par analogie avec le cas discret.

Une variable aléatoire X dont l’ensemble image X(E) est un intervalle de est une variable aléatoire continue (continue par opposition à discrète, cf supra).

Rappelons que, par définition d’une variable aléatoire, Image graphique237235.trsp.gif est un événement de E dont la probabilité est bien définie.

On définit la loi de probabilité de X, ou distribution de X, à l’aide d’une fonction f(x), appelée densité de probabilité de X, telle que

Image graphique238236.trsp.gif

Remarques

  1. Si f est donnée, la probabilité Image graphique239237.trsp.gif est la surface sous la courbe entre  a et b
    Image graphique240238.trsp.gif

  2. Le passage du discret au continu transforme les sommes ∑ en intégrales Image graphique241239.trsp.gif et  pi en  f(x)dx.
    Ainsi, soit X une variable aléatoire discrète et pi sa distribution
    Image graphique242240.trsp.gif


    La formule Image graphique243241.trsp.gif est analogue à Image graphique244242.trsp.gif

En utilisant cette analogie, on admettra les définitions suivantes pour une variable aléatoire  X, continue, de distribution f(x) :

  1. Image graphique245243.trsp.gif (analogue à Image graphique246244.trsp.gif)
  2. Image graphique247245.trsp.gif (analogue à Image graphique248246.trsp.gif)
  3. Image graphique249247.trsp.gif (analogue à Image graphique250248.trsp.gif)
  4. Image graphique251249.trsp.gif (analogue à Image graphique252250.trsp.gif)
  5. Image graphique253251.trsp.gif (analogue à Image graphique254252.trsp.gif)
  6. Image graphique255253.trsp.gif
  7. Image graphique256254.trsp.gif (analogue à Image graphique257255.trsp.gif)

    Les propriétés de la fonction de répartition données section 6.2.6 sont conservées : fonction monotone croissante, partant de 0 pour x→-∞ et atteignant 1 pour x→+∞.
  8. Image graphique258256.trsp.gif

Image ddpContinu1.gif

Cet exemple montre la densité de probabilité et la fonction de répartition d’une certaine variable aléatoire continue. La probabilité de l’intervalle [a b] est la surface sous la courbe de densité limitée par cet intervalle. C’est aussi la différence des hauteurs F(b)-F(a) si on utilise la fonction de répartition. Contrairement au cas des variables discrètes, la fonction de répartition est ici continue.

Pour résumer l’analogie entre le cas discret et le cas continu, un point du domaine discret correspond à un intervalle dans le cas continu, la somme discrète correspond à l’intégrale.

6.5 Extension de la notion de variable aléatoire

Une variable aléatoire, telle qu’elle est définie dans ce chapitre, ne peut prendre que des valeurs numériques.

Il est pourtant souvent pratique de s’intéresser directement aux résultats d’une expérience, qu’ils soient numériques ou non, c’est à dire d’éviter le codage numérique de ces résultats. Par abus de langage, dans la suite du cours, on pourra parler de variables aléatoires alors qu’il s’agit de résultats d’expérience.

Dans ce contexte, la classification antérieure des variables (discrètes ou continues) doit être étendue :

Variables quantitatives
variables dont les valeurs sont numériques. C’est l’unique possibilité dans le cas de variables aléatoires au sens strict.
On distingue deux types de variables quantitatives :
  • variables discrètes, dont les valeurs sont discrètes, en général des nombres entiers. Exemple : nombre d’étudiants dans un amphi.
  • variables continues, pour lesquelles toutes les valeurs sont possibles, au moins sur un intervalle. Exemples : le poids ou la taille.
Variables qualitatives
Variables dont les valeurs ne sont pas numériques.
On en distingue deux types :
  • variables ordinales, dont les valeurs peuvent être ordonnées. Exemple : intensité d’une douleur qui peut aller de absente à très intense.
  • variables catégorielles ou nominales, dont les valeurs ne peuvent pas être ordonnées. Exemple : couleur des yeux.

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6.1 - Définition d’une variable aléatoire
6.2 - Variables aléatoires finies
6.3 - Variables infinies dénombrables (hors programme)
6.4 - Variables aléatoires continues
6.5 - Extension de la notion de variable aléatoire