Chapitre 6 - Variables aléatoires

6.2 - Variables aléatoires finies

6.2.4 Loi de probabilité produit

Soient X et Y deux variables aléatoires finies sur le même espace fondamental  E ayant pour image respective :

X(E) = {x₁, x₂, ..., x_n}

Y(E) = {y₁, y₂, ..., y_m}.

Considérons l’ensemble produit

X(E)×Y(E) = {(x₁, y₁), (x₁, y₂), ..., (x_n, y_m)}

(ensemble des couples (x_i, y_j) pour i = 1, ..., n et j = 1, ..., m)

Cet ensemble produit peut être transformé en ensemble probabilisé si on définit la probabilité du couple ordonné (x_i, y_j) par que l’on note p_xi,yj. Cette loi de probabilité de X, Y est appelée distribution jointe de X et Y.

	x1	x2	x3	.....	xn
y1	px1,y1	px2,y1				py1
y2	px1,y2					py2
.....
ym	px1,ym
	px1	px2				1

Les probabilités et

sont souvent appelées lois de probabilité marginales de X et de Y. Il s’agit simplement de leurs distributions.

La loi de probabilité p_xi,yj possède, bien entendu, les propriétés d’une loi :

Soient μ_X et μ_Y les espérances de X et de Y, σ_X et σ_Y leurs écart-types. On montre facilement que var(X + Y) = σ_X² + σ_Y² + 2cov(X, Y), où cov(X, Y) représente la covariance de X et Y et est définie par :

De même que pour la variance (voir section 6.2.3), on a :

cov(X, Y) = E(X Y) - μ_Xμ_Y

La covariance de X et Y se note aussi σ_XY.

Une notion dérivée de la covariance est celle de corrélation entre X et Y, définie par :

On peut vérifier que

ρ(X, Y) = ρ(Y, X)

ρ(X, X) = 1

ρ(aX + b, cY + d) = ρ(X, Y) si a et c non nuls

6.2.5 Variables aléatoires indépendantes

Soient X et Y deux variables aléatoires sur un même espace fondamental  E. X et Y sont indépendantes si tous les événements X = x_i et Y = y_j sont indépendants :

pour tous les couples (i, j).

Autrement dit, si p_xi et p_yj sont les distributions respectives de X et Y, les variables sont indépendantes si et seulement si on a

p_xi,yj = p_xip_yj

(la probabilité conjointe est égale au produit des probabilités marginales).

Il en découle les propriétés importantes suivantes : si X et Y sont indépendantes, on a (attention la réciproque n’est pas toujours vraie)

1. E(XY) = E(X)E(Y)
2. var(X + Y) = var(X) + var(Y)
3. cov(X, Y) = 0 et ρ(X, Y) = 0

6.2.6 Fonction de répartition

Si X est une variable aléatoire, on définit sa fonction de répartition F(x) par

Si X est une variable aléatoire discrète on a

Dans tous les cas, F(x) est une fonction monotone croissante, c’est-à-dire

De plus

et

Cet exemple montre la distribution de probabilités d’une variable aléatoire finie et la fonction de répartition correspondante. La fonction de répartition est une fonction en escalier. Les discontinuités se produisent pour les valeurs x possédant des probabilités non nulles. Pour chacune de ces valeurs de x, la hauteur d’une discontinuité est la probabilité de x.