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Biostatistique

Sommaire

Avant-propos

Introduction

1 - Statistique(s) et Probabilité(s)

2 - Rappels mathématiques

3 - Eléments de calcul des Probabilités

4 - Probabilité Conditionnelle ; Indépendance et Théorème de Bayes

5 - Evaluation de l’intérêt diagnostique des informations médicales

6 - Variables aléatoires

7 - Exemples de distributions

8 - Statistiques descriptives

9 - Etude de la variable aléatoire moyenne expérimentale

10 - Estimation - Intervalle de confiance

11 - Les tests d’hypothèses. Principes

12 - Quelques tests usuels

13 - Tests concernant des variables qualitatives

14 - Liaison entre deux variables continues : notion de corrélation

15 - Méthodologie des études épidémiologiques

A - Tables statistiques


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traduction HTML V2.8
V. Morice


Chapitre 6 - Variables aléatoires

 

6.2 - Variables aléatoires finies

 

6.2.4 Loi de probabilité produit

Soient X et Y deux variables aléatoires finies sur le même espace fondamental  E ayant pour image respective :

X(E) = {x1, x2, ..., xn}

Y(E) = {y1, y2, ..., ym}.

Considérons l’ensemble produit

X(EY(E) = {(x1, y1), (x1, y2), ..., (xn, ym)}

(ensemble des couples (xiyj) pour i = 1, ..., n et j = 1, ..., m)

Cet ensemble produit peut être transformé en ensemble probabilisé si on définit la probabilité du couple ordonné (xiyj) par Image graphique218217.trsp.gif que l’on note pxi,yj. Cette loi de probabilité de X, Y est appelée distribution jointe de X et Y.

Image graphique219218.trsp.gif  x1 x2 x3 ..... xn Image graphique220219.trsp.gif 
y1 px1,y1 px2,y1       py1
y2 px1,y2         py2
.....            
ym px1,ym          
Image graphique221220.trsp.gif  px1 px2       1

Les probabilités Image graphique222221.trsp.gif et Image graphique223222.trsp.gif

sont souvent appelées lois de probabilité marginales de X et de Y. Il s’agit simplement de leurs distributions.

La loi de probabilité pxi,yj possède, bien entendu, les propriétés d’une loi :

  1. Image graphique224223.trsp.gif
  2. Image graphique225224.trsp.gif

Soient μX et μY les espérances de X et de Y, σX et σY leurs écart-types. On montre facilement que var(X + Y) = σX2 + σY2 + 2cov(X, Y), où cov(X, Y) représente la covariance de X et Y et est définie par :

Image graphique226225.trsp.gif

De même que pour la variance (voir section 6.2.3), on a :

cov(X, Y) = E(X Y) - μXμY

La covariance de X et Y se note aussi σXY.

Une notion dérivée de la covariance est celle de corrélation entre X et Y, définie par :

Image graphique227226.trsp.gif

On peut vérifier que

ρ(X, Y) = ρ(Y, X)

Image graphique228227.trsp.gif

ρ(X, X) = 1

ρ(aX + b, cY + d) = ρ(X, Y) si a et c non nuls

6.2.5 Variables aléatoires indépendantes

Soient X et Y deux variables aléatoires sur un même espace fondamental  E. X et Y sont indépendantes si tous les événements X = xi et Y = yj sont indépendants :

Image graphique229228.trsp.gif pour tous les couples (i, j).

Autrement dit, si pxi et pyj sont les distributions respectives de X et Y, les variables sont indépendantes si et seulement si on a

pxi,yj = pxipyj

(la probabilité conjointe est égale au produit des probabilités marginales).

Il en découle les propriétés importantes suivantes : si X et Y sont indépendantes, on a (attention la réciproque n’est pas toujours vraie)

  1. E(XY) = E(X)E(Y)
  2. var(X + Y) = var(X) + var(Y)
  3. cov(X, Y) = 0 et ρ(X, Y) = 0

6.2.6 Fonction de répartition

Si X est une variable aléatoire, on définit sa fonction de répartition F(x) par

Image graphique230229.trsp.gif

Si X est une variable aléatoire discrète on a Image graphique231230.trsp.gif

Dans tous les cas, F(x) est une fonction monotone croissante, c’est-à-dire Image graphique232231.trsp.gif

De plus

Image graphique233232.trsp.gif et Image graphique234233.trsp.gif

Image distribDiscret.gif

Cet exemple montre la distribution de probabilités d’une variable aléatoire finie et la fonction de répartition correspondante. La fonction de répartition est une fonction en escalier. Les discontinuités se produisent pour les valeurs x possédant des probabilités non nulles. Pour chacune de ces valeurs de x, la hauteur d’une discontinuité est la probabilité de x.

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6.1 - Définition d’une variable aléatoire
6.2 - Variables aléatoires finies
6.3 - Variables infinies dénombrables (hors programme)
6.4 - Variables aléatoires continues
6.5 - Extension de la notion de variable aléatoire
6.2.1 - Représentation d’une loi de probabilité finie
6.2.2 - Espérance mathématique d’une variable finie
6.2.3 - Variance et écart-type d’une variable finie
6.2.4 - Loi de probabilité produit
6.2.5 - Variables aléatoires indépendantes
6.2.6 - Fonction de répartition