Chapitre 4 - Probabilité Conditionnelle ; Indépendance et Théorème de Bayes

4.1 - Probabilité conditionnelle

Soient A et B deux événements quelconques d’un ensemble fondamental  E muni d’une loi de probabilité Pr. On s’intéresse à ce que devient la probabilité de A lorsqu’on apprend que B est déjà réalisé, c’est-à-dire lorsqu’on restreint l’ensemble des résultats possibles E à B.

La probabilité conditionnelle de A, sachant que l’événement B est réalisé, est notée Pr(A/ B) et est définie par la relation suivante :

Equation 1 : probabilité conditionnelle

Dans cette équation, les probabilités des événements et B doivent être calculées sur tout l’ensemble fondamental E, comme si on ne savait pas que B s’est déjà réalisé. Sinon, on obtient évidemment Pr(B) = 1.

Figure 1 : probabilité conditionnelle

Cette relation générale pour tout espace probabilisé s’interprète facilement dans le cas où  E est un espace équiprobable (mais cette relation est vraie pour un espace non-équiprobable !). En notant le nombre d’éléments de A :

Pr(A/ B) traduit le rapport de la surface de sur la surface de B dans la figure 1.

Toujours dans le cas où E est équiprobable, on a

Cette interprétation de la probabilité conditionnelle, facile à appréhender dans le cas d’équiprobabilité, est la définition générale de la probabilité conditionnelle qu’on doit utiliser telle quelle, sans chercher une interprétation fréquentiste dans tous les cas.

Exemple

On jette une paire de dés bien équilibrés (espace équiprobable). On observe une réalisation de l’événement {somme des dés = 6}. Quelle est la probabilité pour qu’un des deux dés ait donné le résultat 2 ?
B = {somme des deux dés = 6}
A = {au moins un des deux dés donne 2}
B = {(2, 4), (4, 2), (1, 5), (5, 1), (3, 3)}
Nombre de réalisations de  = {(2, 4), (4, 2)} = 2

D’où , alors que (à vérifier).