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Biostatistique

Sommaire

Avant-propos

Introduction

1 - Statistique(s) et Probabilité(s)

2 - Rappels mathématiques

3 - Eléments de calcul des Probabilités

4 - Probabilité Conditionnelle ; Indépendance et Théorème de Bayes

5 - Evaluation de l’intérêt diagnostique des informations médicales

6 - Variables aléatoires

7 - Exemples de distributions

8 - Statistiques descriptives

9 - Etude de la variable aléatoire moyenne expérimentale

10 - Estimation - Intervalle de confiance

11 - Les tests d’hypothèses. Principes

12 - Quelques tests usuels

13 - Tests concernant des variables qualitatives

14 - Liaison entre deux variables continues : notion de corrélation

15 - Méthodologie des études épidémiologiques

A - Tables statistiques


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traduction HTML V2.8
V. Morice


Chapitre 4 - Probabilité Conditionnelle ; Indépendance et Théorème de Bayes

 

4.1 - Probabilité conditionnelle

 

Soient A et B deux événements quelconques d’un ensemble fondamental  E muni d’une loi de probabilité Pr. On s’intéresse à ce que devient la probabilité de A lorsqu’on apprend que B est déjà réalisé, c’est-à-dire lorsqu’on restreint l’ensemble des résultats possibles E à B.

La probabilité conditionnelle de A, sachant que l’événement B est réalisé, est notée Pr(AB) et est définie par la relation suivante :

Image graphique132132.trsp.gif
Equation 1 : probabilité conditionnelle

Dans cette équation, les probabilités des événements Image graphique133133.trsp.gif et B doivent être calculées sur tout l’ensemble fondamental E, comme si on ne savait pas que B s’est déjà réalisé. Sinon, on obtient évidemment Pr(B) = 1.

Image graphique134134.trsp.gif
Figure 1 : probabilité conditionnelle

Cette relation générale pour tout espace probabilisé s’interprète facilement dans le cas où  E est un espace équiprobable (mais cette relation est vraie pour un espace non-équiprobable !). En notant Image graphique135135.trsp.gif le nombre d’éléments de A :

Image graphique136136.trsp.gif

Pr(AB) traduit le rapport de la surface de Image graphique137137.trsp.gif sur la surface de B dans la figure 1.

Toujours dans le cas où E est équiprobable, on a

Image graphique138138.trsp.gif

Cette interprétation de la probabilité conditionnelle, facile à appréhender dans le cas d’équiprobabilité, est la définition générale de la probabilité conditionnelle qu’on doit utiliser telle quelle, sans chercher une interprétation fréquentiste dans tous les cas.

Exemple
On jette une paire de dés bien équilibrés (espace équiprobable). On observe une réalisation de l’événement {somme des dés = 6}. Quelle est la probabilité pour qu’un des deux dés ait donné le résultat 2 ?
B = {somme des deux dés = 6}
A = {au moins un des deux dés donne 2}
B = {(2, 4), (4, 2), (1, 5), (5, 1), (3, 3)}
Nombre de réalisations de Image graphique139139.trsp.gif = {(2, 4), (4, 2)} = 2

D’où Image graphique140140.trsp.gif, alors que Image graphique141141.trsp.gif (à vérifier).

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4.1 - Probabilité conditionnelle
4.2 - Théorème de la multiplication
4.3 - Diagramme en arbre
4.4 - Théorème de Bayes
4.5 - Indépendance entre événements
4.6 - Indépendance, inclusion et exclusion de deux événements