Chapitre 4 - Probabilité Conditionnelle ; Indépendance et Théorème de Bayes

4.5 Indépendance entre événements

On dit que deux événements  A et B sont indépendants si la probabilité pour que  A soit réalisé n’est pas modifiée par le fait que B se soit produit. On traduit cela par Pr(A / B) = Pr(A).

D’après la définition d’une probabilité conditionnelle, , on tire la définition :

A et B sont indépendants si et seulement si .

La symétrie de cette définition implique qu’on a aussi bien Pr(A / B) = Pr(A) (A est indépendant de B) que Pr(B / A) = Pr(B) (B est indépendant de A) : l’apparition d’un des deux événements n’influe pas sur l’apparition de l’autre.

Note

Ce qui est défini précédemment est l’indépendance de deux événements. Si on considère maintenant 3 événements A, B, C, on dira que ces 3 événements sont indépendants :

1. s’ils sont indépendants 2 à 2 : A indépendant de B ; A indépendant de C ; et B indépendant de C
2. et si . Cette condition n’est pas une conséquence des précédentes.

4.6 Indépendance, inclusion et exclusion de deux événements

Considérons deux événements A et B.

1. Si (A est inclus dans B) : si A est réalisé, alors B aussi.
   
   Alors .
   
   D’où et .
   
   A et B ne sont pas indépendants.
2. Si (A et B sont exclusifs) : si A est réalisé, B ne peut pas l’être.
   
   Alors .
   
   D’où .
   
   De même A et B ne sont pas indépendants.