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Biostatistique

Sommaire

Avant-propos

Introduction

1 - Statistique(s) et Probabilité(s)

2 - Rappels mathématiques

3 - Eléments de calcul des Probabilités

4 - Probabilité Conditionnelle ; Indépendance et Théorème de Bayes

5 - Evaluation de l’intérêt diagnostique des informations médicales

6 - Variables aléatoires

7 - Exemples de distributions

8 - Statistiques descriptives

9 - Etude de la variable aléatoire moyenne expérimentale

10 - Estimation - Intervalle de confiance

11 - Les tests d’hypothèses. Principes

12 - Quelques tests usuels

13 - Tests concernant des variables qualitatives

14 - Liaison entre deux variables continues : notion de corrélation

15 - Méthodologie des études épidémiologiques

A - Tables statistiques


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traduction HTML V2.8
V. Morice


Chapitre 4 - Probabilité Conditionnelle ; Indépendance et Théorème de Bayes

 

 

4.2 Théorème de la multiplication

Reprenons l’équation 1, définition des probabilités conditionnelles : Image graphique142142.trsp.gif

On en tire immédiatement

Image graphique143143.trsp.gif
Equation 2 : théorème de la multiplication

L’équation 2 peut se généraliser facilement. Soient A1, ..., An des événements quelconques d’un espace probabilisé ; à partir de l’équation 2, on montre :

Image graphique144144.trsp.gif

Exemple
Une boîte contient 10 articles dont 4 sont défectueux. On tire 3 objets de cette boîte. Calculer la probabilité pour que ces 3 objets soient défectueux.
Pr(1er défectueux) = 4/10
Pr(2ème défectueux / 1er défectueux) = 3/9
Pr(3ème défectueux / 1er et 2ème défectueux) = 2/8
Pr(1er et 2ème et 3ème défectueux) = 4/10×3/9×2/8 = 1/30.

4.3 Diagramme en arbre

On considère une séquence finie d’expériences dont chacune d’entre elles a un nombre fini de résultats possibles. Les probabilités associées aux résultats possibles d’une expérience dépendent du résultat de l’expérience précédente ; il s’agit de probabilités conditionnelles. Pour représenter cette séquence, on utilise une représentation « en arbre », le théorème précédent permettant de calculer la probabilité de chaque feuille de l’arbre.

Exemple
On sait que les taux de réussite au concours dans les trois CHU Pitié, Saint Antoine et Broussais (l’université Pierre et Marie Curie a longtemps comporté ces 3 CHU) étaient respectivement (données arbitraires) de 0,20 ; 0,15 ; et 0,10 (0,20 = Pr(Réussite/Pitié)) ; on sait que 1/4 des étudiants de Paris VI étaient à Saint Antoine, 1/4 à Broussais et 1/2 à la Pitié. Quelle était la probabilité qu’un étudiant de Paris VI soit reçu au concours ?
Image graphique145145.trsp.gif


R signifie réussite et E échec.
Image graphique146146.trsp.gif
Pr(R) = 0,15×1/4 + 0,20×1/2 + 0,10×1/4 = 0,1625
La probabilité qu’un chemin particulier de l’arbre se réalise est, d’après le théorème de la multiplication, le produit des probabilités de chaque branche du chemin.
Les chemins s’excluant mutuellement, la probabilité d’être reçu est égale à la somme des probabilités d’être reçu pour tout chemin aboutissant à un état R (reçu).

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4.1 - Probabilité conditionnelle
4.2 - Théorème de la multiplication
4.3 - Diagramme en arbre
4.4 - Théorème de Bayes
4.5 - Indépendance entre événements
4.6 - Indépendance, inclusion et exclusion de deux événements