Chapitre 3 - Eléments de calcul des Probabilités

3.1 Introduction

Le calcul des probabilités est la théorie mathématique, donc fondée axiomatiquement, qui permet de modéliser des phénomènes aléatoires, ou non déterministes.

De tels phénomènes sont bien représentés par les jeux de hasard dont l’étude a initié le calcul des probabilités. Considérons le cas du jeu de dés ; lorsqu’on jette un dé on est certain qu’il va tomber sur la table (phénomène déterministe), mais on n’est pas capable de prédire la valeur qui va sortir (phénomène aléatoire).

Un phénomène déterministe est un phénomène dont on peut prévoir le résultat ; les lois de la physique classique sont des modèles permettant de prédire le résultat d’une expérience donnée. La loi d’Ohm permet de prédire la valeur de l’intensité du courant connaissant la résistance et la tension aux bornes. Les lois de la physique mettent en évidence une régularité qui permet de prédire les résultats d’une expérience lorsqu’on contrôle les causes.

Les phénomènes aléatoires exhibent un autre type de régularité. Prenons le cas des lois de Mendel. Mendel était un biologiste qui étudiait les résultats du croisement de deux espèces de plantes ; plus précisément, il étudiait la transmission de caractères comme la couleur, l’aspect, etc. Une observation typique de régularité d’un nouveau type est d’observer que, sur une série suffisamment grande de croisements de deux espèces A et B, on observait par exemple, dans 1/4 des cas, les caractères de A, et dans 3/4 des cas, les caractères de B. Une telle régularité fréquentielle a donné lieu à ce qu’on appelle les lois de Mendel. Cette régularité permet de prédire la fréquence d’apparition d’un phénomène, ce qui est plus « faible » que la prédiction déterministe. L’étude et la modélisation de tels phénomènes (la recherche de lois) est le champ d’application du calcul des probabilités.

3.2 Expérience aléatoire, ensemble fondamental et événements

Expérience aléatoire

On s’intéresse ici aux seules expériences dont le résultat n’est pas prévisible, les expériences aléatoires. Une expérience aléatoire est aussi appelée une épreuve.

Ensemble fondamental

Pour une expérience aléatoire donnée, l’ensemble des résultats possibles est appelé l’ensemble fondamental, que nous noterons E dans la suite du cours. Chaque résultat d’expérience est un point de E ou un élément de E.

Evénement

Un événement A est un sous ensemble de E, c’est-à-dire un ensemble de résultats.
L’événement {a}, constitué par un seul point de E, donc par un seul résultat , est appelé événement élémentaire.
L’ensemble vide Ø ne contient aucun des résultats possibles : il est appelé  événement impossible.
L’ensemble E contient tous les résultats possibles : c’est l’événement certain.
Si E est fini, ou infini dénombrable, tout sous-ensemble de E est un événement ; ce n’est pas vrai si E est non dénombrable (ceci sort du cadre de ce cours).
On note parfois Ω l’ensemble de tous les événements.

Exemples

1. On jette un dé et on observe le résultat obtenu. L’ensemble fondamental est formé par les 6 résultats possibles :
   E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
   L’événement correspondant à l’apparition d’un nombre pair est  A = {2, 4, 6}, qui est bien un sous ensemble de E.
   L’événement correspondant à l’apparition d’un nombre premier est  B = {1, 2, 3, 5}, et l’événement correspondant à l’apparition d’un 3 est C = {3}.
2. Dans l’exemple précédent E était fini et donc dénombrable ; E peut être infini dénombrable comme dans le cas suivant. On jette une pièce de monnaie jusqu’à ce qu’on obtienne pile ; l’ensemble fondamental correspondant est la suite des nombres entiers E = {1, 2, 3, ..., n, ...} puisqu’on peut avoir un pile au bout d’un jet, de 2 jets, de n jets, n étant aussi grand que l’on veut.
3. On vise avec une fléchette une cible suffisamment grande ; si on admet que la fléchette est très fine, comme le serait un point de la géométrie, l’espace fondamental est la surface de la cible qui est constituée de points et donc infinie et non dénombrable.

3.3 Opérations sur les événements

Les événements peuvent se combiner entre eux pour former de nouveaux événements. Si  A et B sont deux événements, les opérations de combinaison sont :

1. est l’événement qui se produit si A ou B (ou les deux) est réalisé.
   Il est parfois noté ou A ou B.
2. est l’événement qui se produit si A et B sont réalisés tous les deux.
   Il est parfois noté ou A et B.
3. est l’événement qui se produit quand A n’est pas réalisé. On l’appelle aussi négation de A.
   Il est parfois noté «  », ou .

Evénements incompatibles

Quand deux événements A et B sont tels que , ils ne peuvent être réalisés simultanément. On dit qu’ils s’excluent mutuellement, ou qu’ils sont incompatibles.

Système complet d’événements

On dit que les événements A₁, A₂, ..., A_n forment une famille complète si les  A_i constituent une partition de E, c’est-à-dire si :

1. les événements sont deux à deux disjoints :
2. ils couvrent tout l’espace :

Exemple

Reprenons l’exemple précédent du jeu de dés :
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 4, 6}, B = {1, 2, 3, 5}, C = {3}.
 = apparition d’un nombre pair ou premier
 = apparition d’un nombre pair et premier
 = apparition d’un nombre autre que 3
 : A et C s’excluent mutuellement.