Chapitre 3 - Eléments de calcul des Probabilités

3.6 - Illustration de quelques ensembles probabilisés

3.6.1 Ensemble probabilisé fini

Soit E = {a₁, a₂, ..., a_n} un ensemble fondamental fini. On probabilise cet ensemble en attribuant à chaque point a_i un nombre p_i, probabilité de l’événement élémentaire {a_i}, tel que :

La probabilité d’un événement quelconque A est la somme des probabilités des a_i qu’il contient :

Exemple

On jette 3 pièces de monnaie et on compte le nombre de « face » obtenu. L’ensemble fondamental correspondant à cette expérience est  E = {0, 1, 2, 3} puisqu’on peut obtenir comme résultat de l’expérience : 0 fois « face » (3 fois « pile »), 1 fois « face » (2 fois « pile »), 2 fois « face », ou 3 fois « face ».
On probabilise cet ensemble fini en donnant une valeur  p₀, p₁, p₂ et p₃ aux événements {0}, {1}, {2} et {3} ; comme par exemple p₀ = 1/8, p₁ = 3/8, p₂ = 3/8 et p₃ = 1/8.
Considérons l’événement A tel qu’on ait au moins 2 fois « face », A = {a₂, a₃} :
Pr(A) = p₂ + p₃ = 3/8 + 1/8 = 4/8 = 1/2

3.6.2 Ensemble fini équiprobable

C’est un ensemble fini probabilisé tel que tous les événements élémentaires ont la même probabilité. On dit aussi qu’il s’agit d’un espace probabilisé uniforme.

E = {a₁, a₂, ..., a_n} et Pr({a₁}) = p₁, Pr({a₂}) = p₂, ..., Pr({a_n}) = p_n

avec p₁ = p₂ = ... = p_n = 1/n

Les jeux de hasard - dés, cartes, loto, etc. - entrent précisément dans cette catégorie :

• jeu de dés : E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ; p₁ = p₂ = p₃ = p₄ = p₅ = p₆ = 1/6
• jeu de cartes : E = {ensemble des cartes d’un jeu de 52 cartes} ; p_i = 1/52

Propriété

Dans un ensemble fini équiprobable, la probabilité d’un événement  A est égale au rapport du nombre de résultats tel que  A est vrai, sur le nombre d’événements de E.

Remarque

Quand on dit qu’on tire « au hasard », on sous-entend que l’ensemble probabilisé considéré est équiprobable.

Exemple

On tire « au hasard » une carte dans un jeu de 52 cartes.
Quelle est la probabilité de tirer un trèfle ?



Quelle est la probabilité de tirer un roi ?



Quelle est la probabilité de tirer un roi de trèfle ?

Remarque

Le cas des ensembles finis équiprobables est le plus simple à appréhender. Il faut insister sur le fait que l’équiprobabilité n’est qu’un cas particulier des ensembles probabilisés ; ce n’est (de loin) pas le plus utile en médecine.

3.6.3 Ensembles probabilisés infinis

3.6.3.1 Cas dénombrable

On a alors un ensemble fondamental de la forme E = {a₁, a₂, ..., a_n, ...} comme dans le cas fini. Cet ensemble fondamental est probabilisé en affectant à chaque élément  a_i une valeur réelle  p_i telle que :

et .

La probabilité d’un événement quelconque est alors la somme des  p_i correspondant à ses éléments.

Exemple 1

A = {a₂₅, a₃₁, a₄₃}
Pr(A) = p₂₅ + p₃₁ + p₄₃

Exemple 2

Si on reprend l’expérience consistant à jeter une pièce et à compter le nombre de jets jusqu’à ce qu’on obtienne un résultat « pile » (c’est un espace infini dénombrable), on peut construire un espace probabilisé en choisissant :



Remarque :
Le choix des p_i est arbitraire ; en réalité, il est justifié soit par des considérations a priori (dans le cas de l’expérience précédente on suppose que chaque jeté constitue une expérience avec Pr(pile) = Pr(face) = 1/2 et que le résultat d’un jet n’influe pas sur le suivant). Il peut être aussi estimé ; c’est le problème des statistiques qui, à partir de nombreuses réalisations de l’expérience, permet d’approcher les valeurs  p_i (ce point sera revu dans la suite du cours et constitue l’objet de l’approche statistique).

3.6.3.2 Cas d’un ensemble probabilisé infini non dénombrable

Pour illustrer ce cas, on peut prendre l’exemple de la chute d’un satellite en fin de vie (ce fut le cas, en octobre 1993 pour un gros satellite chinois dont on parla beaucoup dans la presse). Dans l’état actuel des connaissances sur l’orbite de ce satellite, on n’est pas capable de prédire l’endroit de la chute ; l’hypothèse retenue est alors celle d’un espace de probabilité uniforme. Dans ce cas, le satellite a la même chance de tomber dans n’importe quelle parcelle du monde et on peut calculer la probabilité qu’il tombe sur Paris comme le rapport de la surface de Paris sur la surface du globe.

Lorsqu’on se rapprochera de l’échéance, on pourra avoir des hypothèses plus précises, et on pourra prédire par exemple que le point de chute aura un maximum de probabilité dans une région, la probabilité autour de cette région étant d’autant plus petite qu’on s’éloigne de ce maximum.

Il s’agit bien sûr d’un espace infini non dénombrable puisqu’on peut réduire (au moins par l’esprit) la taille de l’élément de la région considérée à celle d’un point. Des probabilités peuvent donc être associées à chaque région de taille non nulle, mais la probabilité d’une chute en un point donné est nulle, puisque sa surface est nulle. Nous verrons dans la suite que les probabilités se calculent généralement à partir d’une densité (de probabilité) associée à chaque point : lorsque les points d’une région ont une densité élevée, la probabilité de chute dans cette région est élevée.