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Biostatistique

Sommaire

Avant-propos

Introduction

1 - Statistique(s) et Probabilité(s)

2 - Rappels mathématiques

3 - Eléments de calcul des Probabilités

4 - Probabilité Conditionnelle ; Indépendance et Théorème de Bayes

5 - Evaluation de l’intérêt diagnostique des informations médicales

6 - Variables aléatoires

7 - Exemples de distributions

8 - Statistiques descriptives

9 - Etude de la variable aléatoire moyenne expérimentale

10 - Estimation - Intervalle de confiance

11 - Les tests d’hypothèses. Principes

12 - Quelques tests usuels

13 - Tests concernant des variables qualitatives

14 - Liaison entre deux variables continues : notion de corrélation

15 - Méthodologie des études épidémiologiques

A - Tables statistiques


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traduction HTML V2.8
V. Morice


Chapitre 3 - Eléments de calcul des Probabilités

 

 

3.4 Règles du calcul des probabilités

Soit un ensemble fondamental E. Nous introduisons une fonction Pr qui, à tout événement A, associe un nombre réel positif ou nul.

Pr est dite fonction de probabilité, et Pr(A) est appelée probabilité de l’événement A, si les conditions ou règles suivantes sont satisfaits :

  1. Image graphique9595.trsp.gif pour tout événement A : une probabilité est positive ou nulle
  2. Image graphique9696.trsp.gif : la probabilité de l’événement certain est 1
  3. Image graphique9797.trsp.gif : permet le calcul de la probabilité de la réunion de deux événements disjoints
  4. Soit un ensemble dénombrable (fini ou non) d’événements Ai deux à deux disjoints (Image graphique9898.trsp.gif), alors Image graphique9999.trsp.gif.

    Cette quatrième condition est proche de la troisième. Elle ne peut cependant pas s’en déduire dans le cas d’un ensemble d’événements infini dénombrable.

Propriétés importantes déduites des quatre conditions précédentes :

  1. Image graphique100100.trsp.gif
    Soit A un événement quelconque. A et Ø sont évidemment disjoints puisque Image graphique101101.trsp.gif ; donc Image graphique102102.trsp.gif. Or Image graphique103103.trsp.gif ; donc Image graphique104104.trsp.gif. D’où Image graphique105105.trsp.gif.
  2. Image graphique106106.trsp.gif
    A et son complémentaire Image graphique107107.trsp.gif sont disjoints, et leur réunion forme E, de probabilité 1. Donc Image graphique108108.trsp.gif. Toute probabilité étant positive ou nulle, on obtient bien Image graphique109109.trsp.gif.
  3. Image graphique110110.trsp.gif
    A démontrer en exercice, en notant que Image graphique111111.trsp.gif.
  4. Si Image graphique112112.trsp.gif, alors Image graphique113113.trsp.gif.
    A démontrer en exercice, en notant que Image graphique114114.trsp.gif.
    Image graphique115115.trsp.gif

  5. Image graphique116116.trsp.gif
    A démontrer en exercice, en remarquant que Image graphique117117.trsp.gif.
    Image graphique118118.trsp.gif

  6. Image graphique119119.trsp.gif
    A démontrer en exercice, en remarquant que Image graphique120120.trsp.gif.
    Image graphique121121.trsp.gif

3.5 Remarque

Alors que Image graphique122122.trsp.gif, il existe des événements non vides qui peuvent avoir une probabilité nulle. Dans le cas d’un ensemble infini non dénombrable, un tel événement n’est pas nécessairement impossible : il est alors dit « presque impossible ».

Exemple
Considérons l’expérience qui consiste à choisir au hasard un point sur une feuille de papier quadrillé avec une pointe de compas infiniment fine. La probabilité de l’événement  piquer dans un carré donné a une certaine valeur (par exemple celle du rapport de la surface du carré avec celle de la feuille de papier) ; en revanche, si on réduit le carré à un point (carré infiniment petit) la probabilité deviendra zéro alors que l’événement (piquer dans ce carré si petit qu’il est devenu un point) n’est pas impossible.

De même un événement de probabilité 1 peut ne pas être certain. Il est alors qualifié de « presque certain ».

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3.1 - Introduction
3.2 - Expérience aléatoire, ensemble fondamental et événements
3.3 - Opérations sur les événements
3.4 - Règles du calcul des probabilités
3.5 - Remarque
3.6 - Illustration de quelques ensembles probabilisés