Chapitre 14 - Liaison entre deux variables continues : notion de corrélation

14.4 Le coefficient de corrélation « vrai »

Cherchons à substituer de la façon la plus naturelle possible des grandeurs « vraies » aux grandeurs observées constitutives de r. On note l’apparition au dénominateur de s_X et s_Y auxquelles on substitue naturellement σ_X et σ_Y, les écarts types « vrais » de X et Y. Au numérateur on remarque m_x et m_y auxquels on substitue E(X) et E(Y) les moyennes « vraies » de X et Y. Reste au numérateur une moyenne observée (lisons n à la place de n-1) ; on lui substitue une moyenne « vraie » : moyenne « vraie » du produit [X - E(X)][Y - E(Y)], soit E{[X - E(X)][Y - E(Y)]}.

Cette moyenne « vraie » dépendant de X et Y à la fois s’appelle covariance « vraie » de X et Y.Finalement, on obtient la contrepartie « vraie » notée ρ :

Remarque : à propos des notions d’espérance, de covariance « vraie », de coefficient de corrélation « vrai », voir le chapitre 6.

14.5 Test d’égalité du coefficient de corrélation « vrai » ρ à 0

Des calculs théoriques complexes, et imposant un certain nombre de restrictions, qui, dépassant le cadre de ce cours, ne seront pas mentionnés, permettent de calculer la distribution de  r sous l’hypothèse - retenue comme hypothèse nulle - de nullité du coefficient de corrélation « vrai » ρ. Il s’agit d’une famille de distributions indexées par un entier appelé nombre de degrés de liberté. La mise en œuvre du test est alors conventionnelle :

• H₀ : ρ = 0 [les variables ne sont pas corrélées],
  H₁ : ρ ≠ 0 [les variables sont corrélées]
• Paramètres du test : coefficient de corrélation observé
  
  
  
  
• sous H₀, r suit une distribution connue, dite du coefficient de corrélation à  n-2 degrés de liberté où n est le nombre de couples (xi, yi) expérimentaux. L’intervalle de pari pour r est de la forme
  étant lue dans une table.
  
  Conditions de validité
  Les conditions de validité sont complexes et expriment que toute combinaison linéaire des variables X et Y est distribuée selon une loi normale. Autrement dit, toute variable  aX + bY où a et b sont deux nombres quelconques doit être normale.Pour la commodité de l’expression, on énoncera les conditions de validité sous le néologisme « distribution de (X, Y) binormale ».
• la suite de la mise en œuvre est standard.

Quelques exemples numériques

Au risque 5 % :

n = 10, IP_0,95 = [-0,632 ; 0,632], ddl = 8

n = 20, IP_0,95 = [-0,444 ; 0,444], ddl = 18

n = 50, IP_0,95 = [-0,280 ; 0,280], ddl = 48

Ainsi, par exemple, pour pouvoir conclure à la corrélation, lorsque l’on dispose de 20 observations (20 couples (x_i, y_i)), le coefficient de corrélation observé doit être supérieur à 0,444, ou inférieur à -0,444.

Autre formulation du test

On peut montrer que est, sous H₀, distribué selon une loi de Student à n-2 ddl.

Si on préfère utiliser ce paramètre plutôt que r, il faut lire la table de Student pour construire l’intervalle de pari.