Chapitre 13 - Tests concernant des variables qualitatives

13.1 - Comparaison d’une répartition observée à une répartition donnée ou test du χ² d’ajustement

13.1.2 - Cas particulier : variable à deux modalités

On a vu que le paramètre du test  Q généralise l’expression du carré du paramètre Z utilisé pour la comparaison d’une proportion observée à une valeur donnée. Dans le cas d’une variable à deux modalités (k = 2), ces deux paramètres sont égaux : Q = Z².

En outre, et sinon il y aurait incohérence, on peut vérifier l’égalité suivante :

Exemple : pour α = 0,05 K_1;0,05 = 3,84 = (1,96)²

Ainsi, pour comparer une répartition observée à une répartition donnée, dans le cas d’une variable à deux modalités, on dispose de 2 tests équivalents, l’un fondé sur la distribution normale, l’autre fondé sur la distribution du χ² à 1 d.d.l. (qui est en fait la distribution du carré de N(0, 1)).

On peut utiliser l’un ou l’autre de ces tests indifféremment.

Exemple : Reprenons l’exemple du chapitre 11

Une race de souris présente un taux de cancers spontanés de 0,2. Sur 100 souris traitées on observe 34 cancers soit p = 0,34. La différence est elle significative ?

• test de comparaison :
  
  
  
  
• test du χ² :

  	cancer	absence de cancer
  répartition théorique	0,2	0,8
  effectifs attendus	20	80
  effectifs observés	34	66	100 (effectif total)

  
  
  
  

Remarque : On parle souvent de ce test sous la terminologie « test du  χ² d’ajustement » pour exprimer qu’il met à l’épreuve l’ajustement - la compatibilité - entre une répartition observée et une répartition donnée.