Chapitre 12 - Quelques tests usuels

12.1 - Tests concernant des variables de Bernoulli

12.1.1 - Test d’égalité d’une proportion « vraie » à une valeur donnée (ou test de comparaison d’une proportion observée à une valeur donnée)

12.1.1.1 Mise en place du test

Exemple : les souris du chapitre précédent

1. Les hypothèses en présence
   
   H₀ (hypothèse nulle) : la proportion « vraie » (de souris cancéreuses dans la population des souris traitées) est égale à φ₀ (proportion hypothétique ou supposée qu’on se donne pour le test).
   H₁ (hypothèse alternative) : la proportion « vraie » est différente de φ₀.
   Notations :
   H₀ : φ = φ₀
   H₁ : φ ≠ φ₀
   
2. Définition du paramètre
   
   
   
   
   où P_n représente la variable aléatoire proportion.
   Sous H₀, Z est à peu près distribuée selon N(0, 1)
   
   [conditions de validité : nφ₀ ≥ 5 et n(1 - φ₀) ≥ 5]
   
3. Choix d’un seuil de signification α
   
   Construction de l’intervalle de pari de niveau 1 - α :
   Exemple : α = 0,05 IP_0,95= [-1,96 ; 1,96] (lu dans la table de la distribution normale)
   
4. Mise en place de la procédure de décision
   
   Lorsque les données seront disponibles on obtiendra une valeur du paramètre  Z, soit :
   
   
   
   
   Si on rejette H₀ et on dit : au risque α l’hypothèse d’égalité de la proportion « vraie » et de la valeur donnée est fausse ; ou, au risque α, la proportion « vraie » est différente de la valeur donnée.
   Si on ne rejette pas H₀ ou « on ne conclut pas ».
   
5. Recueil des données. Conclusion
   
   Rappelons les conditions de validité : nφ₀ ≥ 5 et n(1 - φ₀) ≥ 5

12.1.1.2 Autre interprétation du paramètre z

Regardons la forme du paramètre z. On conclut (c’est-à-dire on rejette H₀) si c’est-à-dire si soit si :

c’est-à-dire si la proportion observée p est suffisamment différente de φ₀. Voilà pourquoi on dit que l’on compare p et φ₀. C’est pourquoi on dit aussi, lorsque H₀ est rejetée :

Très important : une même différence |p - φ₀| peut être ou non significative selon la valeur de  n.

Si l’on vous demande : p = 0,25 et 0,2, sont-elles significativement différentes, ne répondez-pas ; demandez : quelle est la taille de l’échantillon sur lequel  p a été calculé, à quel risque ?

12.1.1.3 Nombre de sujets nécessaires

Si on considère qu’en réalité φ = φ₁, le nombre de sujets nécessaires pour obtenir une puissance 1 - β (β < 0,5) est approximativement donné par

Conditions de validité : nφ₀ ≥ 5 et n(1 − φ₀) ≥ 5