Site FMPMC
     Page précédentePage suivanteSommaireVersion imprimable
   
 

Biostatistique

Sommaire

Avant-propos

Introduction

1 - Statistique(s) et Probabilité(s)

2 - Rappels mathématiques

3 - Eléments de calcul des Probabilités

4 - Probabilité Conditionnelle ; Indépendance et Théorème de Bayes

5 - Evaluation de l’intérêt diagnostique des informations médicales

6 - Variables aléatoires

7 - Exemples de distributions

8 - Statistiques descriptives

9 - Etude de la variable aléatoire moyenne expérimentale

10 - Estimation - Intervalle de confiance

11 - Les tests d’hypothèses. Principes

12 - Quelques tests usuels

13 - Tests concernant des variables qualitatives

14 - Liaison entre deux variables continues : notion de corrélation

15 - Méthodologie des études épidémiologiques

A - Tables statistiques


Tous droits de reproduction réservés aux auteurs


traduction HTML V2.8
V. Morice


Chapitre 12 - Quelques tests usuels

 

12.2 - Tests concernant des variables quantitatives

12.2.1 - Tests impliquant une valeur donnée

 

Ces tests concernent les variables quantitatives continues et permettent de traiter les types de questions suivantes :

  1. la moyenne « vraie » de la taille des individus dans une sous-population est-t-elle égale à la moyenne « vraie » de la taille des individus dans la population générale, cette taille moyenne étant connue par ailleurs.
  2. la distribution de la taille des individus dans cette sous population est-elle dissymétrique par rapport à cette moyenne « vraie », c’est-à-dire témoigne-t-elle d’une inégalité de fréquences entre les « petites » tailles et les « grandes tailles », ce qui est le cas par exemple si la fréquence des « 20-25 cms de moins que la moyenne » est différente de celle des « 20-25 cms de plus que la moyenne » ?

Ces deux tests sont apparentés dans la mesure où le premier met à l’épreuve E(X) = μ0, l’autre le fait que X - μ0 et μ0 - X ont la même densité de probabilité. Cette dernière condition, qui entraîne alors E(X) - μ0 = μ0 - E(X) et donc E(X) = μ0, étant plus contraignante que la première.

12.2.1.1 Test d’égalité d’une moyenne « vraie » à une valeur donnée (ou test de comparaison d’une moyenne observée à une valeur donnée)

Ce cas concerne les variables quantitatives continues et n’est valide que lorsque n ≥ 30.

  1. Les hypothèses en présence :

    H0 : la moyenne « vraie » est égale à avec la valeur donnée μ0 : μ = μ0
    H1 : μ ≠ μ0
  2. Construction du paramètre

    Image graphique484469.trsp.gif


    Z est à peu près distribué selon N(0, 1). Cela résulte du théorème central limite, à ceci près que s2 est utilisé à la place de σ2. On admettra que Z est tout de même distribué selon une distribution normale.
  3. Choix du seuil ; α = 0,05

    Construction de l’intervalle de pari centré Image graphique485470.trsp.gif
    Image graphique486471.trsp.gif ; u0,05 = 1,96
  4. Définition de la règle de décision

    La règle de décision est tout à fait similaire au cas des proportions.
    Si Image graphique487472.trsp.gif, rejet de H0. On dit alors : au risque α la moyenne « vraie » diffère de la valeur donnée ou, pour les mêmes raisons que pour les proportions : la moyenne observée est significativement différente, au risque α, de la valeur donnée ; ou encore : la moyenne observée et la valeur donnée sont significativement différentes, au risque α.
    Si Image graphique488473.trsp.gif, on ne conclut pas. La moyenne observée n’est pas significativement différente de la valeur donnée.
  5. Recueil des données. Calcul de Image graphique489474.trsp.gif. Conclusion.

Nombre de sujets nécessaires

Pour rejeter H0 avec une puissance 1 - β (β < 0,5), lorsque μ = μ1 et que X a pour variance σ2, il faut constituer un échantillon dont la taille minimale est donnée par la formule approchée suivante

Image graphique490475.trsp.gif

Condition de validité : n ≥ 30

12.2.1.2 Test de symétrie d’une variable (X) par rapport à une valeur donnée (μ0) : test de Wilcoxon

  1. Les hypothèses en présence :

    H0 : les variables X - μ0 et μ0 - X ont même densité de probabilité
    H1 : les variables X - μ0 et μ0 - X n’ont pas la même densité de probabilité
  2. Construction du paramètre
    Le paramètre est construit à partir des valeurs ordonnées par ordre croissant des valeurs absolues des xi - μ0 où les xi sont les valeurs de X observées dans l’échantillon ; à chaque valeur on associe son rang de classement et l’on garde la mémoire de son signe. On attribue aux éventuels ex-æquo un rang commun égal à la moyenne des rangs qu’ils occupent.
    Exemple
    Si les valeurs observées (qui ne seront disponibles qu’après réalisation de l’expérience) sont :
    -2,3 ; 4 ; 1 ; 5,6 ; -1,2
    Le classement sera : 1 (+) ; 1,2 (-) ; 2,3 (-) ; 4 (+) ; 5,6 (+)
    On s’intéresse alors à la somme des rangs des places occupées par les valeurs positives, appelée T+. Ici la valeur de T+ serait 1+4+5 = 10.

    Le paramètre du test est :

    Image graphique491476.trsp.gif

    La variable Z a une distribution connue :
    • Lorsque n > 15 cette distribution est à peu près N(0, 1).
    • Pour n ≤ 15, il s’agit d’une distribution faisant l’objet d’une table spécifique, la table du test de Wilcoxon.
  3. Choix du seuil ; α = 0,05

    Construction de l’intervalle de pari centré Image graphique492477.trsp.gif
    Image graphique493478.trsp.gif ; lorsque n > 15, Wα = uα
  4. Définition de la règle de décision

    Si Image graphique494479.trsp.gif, rejet de H0. On dit alors : au risque α la densité de probabilité de X n’est pas symétrique par rapport à μ0 ; selon le signe de z, on conclura que X est « plutôt plus grand que μ0 », ou que X est « plutôt plus petit que μ0 ».
    Si Image graphique495480.trsp.gif, on ne conclut pas ; on ne rejette pas H0.
  5. Recueil des données, calcul de z, conclusion.

Remarque : si n < 6 ce test ne permet jamais de rejeter H0

     Page précédentePage suivanteSommaireVersion imprimable
   
 
12.1 - Tests concernant des variables de Bernoulli
12.2 - Tests concernant des variables quantitatives
Résumé du chapitre
12.2.1 - Tests impliquant une valeur donnée
12.2.2 - Tests de comparaison de variables quantitatives
12.2.3 - Cas des séries appariées
12.2.1.1 - Test d’égalité d’une moyenne « vraie » à une valeur donnée (ou test de comparaison d’une moyenne observée à une valeur donnée)
12.2.1.2 - Test de symétrie d’une variable (X) par rapport à une valeur donnée (μ0) : test de Wilcoxon