Chapitre 12 - Quelques tests usuels

12.2 - Tests concernant des variables quantitatives

12.2.1 - Tests impliquant une valeur donnée

Ces tests concernent les variables quantitatives continues et permettent de traiter les types de questions suivantes :

1. la moyenne « vraie » de la taille des individus dans une sous-population est-t-elle égale à la moyenne « vraie » de la taille des individus dans la population générale, cette taille moyenne étant connue par ailleurs.
2. la distribution de la taille des individus dans cette sous population est-elle dissymétrique par rapport à cette moyenne « vraie », c’est-à-dire témoigne-t-elle d’une inégalité de fréquences entre les « petites » tailles et les « grandes tailles », ce qui est le cas par exemple si la fréquence des « 20-25 cms de moins que la moyenne » est différente de celle des « 20-25 cms de plus que la moyenne » ?

Ces deux tests sont apparentés dans la mesure où le premier met à l’épreuve E(X) = μ₀, l’autre le fait que X - μ₀ et μ₀ - X ont la même densité de probabilité. Cette dernière condition, qui entraîne alors E(X) - μ₀ = μ₀ - E(X) et donc E(X) = μ₀, étant plus contraignante que la première.

12.2.1.1 Test d’égalité d’une moyenne « vraie » à une valeur donnée (ou test de comparaison d’une moyenne observée à une valeur donnée)

Ce cas concerne les variables quantitatives continues et n’est valide que lorsque n ≥ 30.

1. Les hypothèses en présence :
   
   H₀ : la moyenne « vraie » est égale à avec la valeur donnée μ₀ : μ = μ₀
   H₁ : μ ≠ μ₀
   
2. Construction du paramètre
   
   
   
   
   Z est à peu près distribué selon N(0, 1). Cela résulte du théorème central limite, à ceci près que s² est utilisé à la place de σ². On admettra que Z est tout de même distribué selon une distribution normale.
   
3. Choix du seuil ; α = 0,05
   
   Construction de l’intervalle de pari centré
    ; u_0,05 = 1,96
   
4. Définition de la règle de décision
   
   La règle de décision est tout à fait similaire au cas des proportions.
   Si , rejet de H₀. On dit alors : au risque α la moyenne « vraie » diffère de la valeur donnée ou, pour les mêmes raisons que pour les proportions : la moyenne observée est significativement différente, au risque α, de la valeur donnée ; ou encore : la moyenne observée et la valeur donnée sont significativement différentes, au risque α.
   Si , on ne conclut pas. La moyenne observée n’est pas significativement différente de la valeur donnée.
5. Recueil des données. Calcul de . Conclusion.
   

Nombre de sujets nécessaires

Pour rejeter H₀ avec une puissance 1 - β (β < 0,5), lorsque μ = μ₁ et que X a pour variance σ², il faut constituer un échantillon dont la taille minimale est donnée par la formule approchée suivante

Condition de validité : n ≥ 30

12.2.1.2 Test de symétrie d’une variable (X) par rapport à une valeur donnée (μ₀) : test de Wilcoxon

1. Les hypothèses en présence :
   
   H₀ : les variables X - μ₀ et μ₀ - X ont même densité de probabilité
   H₁ : les variables X - μ₀ et μ₀ - X n’ont pas la même densité de probabilité
   
2. Construction du paramètre
   Le paramètre est construit à partir des valeurs ordonnées par ordre croissant des valeurs absolues des x_i - μ₀ où les x_i sont les valeurs de X observées dans l’échantillon ; à chaque valeur on associe son rang de classement et l’on garde la mémoire de son signe. On attribue aux éventuels ex-æquo un rang commun égal à la moyenne des rangs qu’ils occupent.
   

   Exemple

   Si les valeurs observées (qui ne seront disponibles qu’après réalisation de l’expérience) sont :
   -2,3 ; 4 ; 1 ; 5,6 ; -1,2
   Le classement sera : 1 (+) ; 1,2 (-) ; 2,3 (-) ; 4 (+) ; 5,6 (+)
   On s’intéresse alors à la somme des rangs des places occupées par les valeurs positives, appelée T⁺. Ici la valeur de T⁺ serait 1+4+5 = 10.

   
   Le paramètre du test est :
   
   
   
   La variable Z a une distribution connue :
   • Lorsque n > 15 cette distribution est à peu près N(0, 1).
   • Pour n ≤ 15, il s’agit d’une distribution faisant l’objet d’une table spécifique, la table du test de Wilcoxon.
3. Choix du seuil ; α = 0,05
   
   Construction de l’intervalle de pari centré
    ; lorsque n > 15, W_α = u_α
   
4. Définition de la règle de décision
   
   Si , rejet de H₀. On dit alors : au risque α la densité de probabilité de X n’est pas symétrique par rapport à μ₀ ; selon le signe de z, on conclura que X est « plutôt plus grand que μ₀ », ou que X est « plutôt plus petit que μ₀ ».
   Si , on ne conclut pas ; on ne rejette pas H₀.
   
5. Recueil des données, calcul de z, conclusion.

Remarque : si n < 6 ce test ne permet jamais de rejeter H₀