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Biostatistique

Sommaire

Avant-propos

Introduction

1 - Statistique(s) et Probabilité(s)

2 - Rappels mathématiques

3 - Eléments de calcul des Probabilités

4 - Probabilité Conditionnelle ; Indépendance et Théorème de Bayes

5 - Evaluation de l’intérêt diagnostique des informations médicales

6 - Variables aléatoires

7 - Exemples de distributions

8 - Statistiques descriptives

9 - Etude de la variable aléatoire moyenne expérimentale

10 - Estimation - Intervalle de confiance

11 - Les tests d’hypothèses. Principes

12 - Quelques tests usuels

13 - Tests concernant des variables qualitatives

14 - Liaison entre deux variables continues : notion de corrélation

15 - Méthodologie des études épidémiologiques

A - Tables statistiques


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traduction HTML V2.8
V. Morice


Chapitre 12 - Quelques tests usuels

 

12.2 - Tests concernant des variables quantitatives

12.2.2 - Tests de comparaison de variables quantitatives

 

Ces tests concernent les variables quantitatives continues et permettent de traiter les types de questions suivantes :

  1. la moyenne « vraie » de la taille des individus dans une sous-population A est-t-elle égale à la moyenne « vraie » de la taille des individus dans une autre sous-population B, ces moyennes « vraies » n’étant pas connues.
  2. la distribution de la variable aléatoire taille des individus dans la population A coïncide-t-elle avec la distribution de la variable aléatoire taille des individus dans la population B.

Ces deux tests sont apparentés, l’hypothèse d’égalité des distributions étant plus contraignante que l’hypothèse d’égalité des moyennes « vraies » seules. Dans les deux cas on va réaliser une expérience mettant en jeu deux échantillons issus des deux populations, à l’issue de laquelle on disposera de deux séries de valeurs de taille (les nombres de valeurs observées sont notés respectivement  nA et nB).

12.2.2.1 Test d’égalité de deux moyennes « vraies » (ou test de comparaison de deux moyennes observées)

Ce test n’est valide que lorsque  nA et nB sont ≥ 30, cas dit des grands échantillons.

Il s’agit d’un problème très proche du problème traité en 12.2.1.1

  1. Les hypothèses en présence

    H0 hypothèse nulle : les moyennes « vraies » dans les deux populations sont égales μA = μB
    H1 hypothèse alternative : μA ≠ μB
  2. Construction du paramètre : cette construction suit les mêmes lignes que précédemment et on obtient

    Image graphique496481.trsp.gif



    Z est à peu près distribuée selon N(0, 1).
  3. Choix d’un seuil de signification (0,05)

    Construction de l’intervalle de pari Image graphique497482.trsp.gif (IP0,95)
  4. Règle de décision
  5. Mise en œuvre de l’expérience.
    Calculs :

    Image graphique498483.trsp.gif



    Image graphique499484.trsp.gif

    les xiA et xiB étant les valeurs de tailles observées dans les échantillons des populations A et B respectivement.

    Image graphique500485.trsp.gif



    Conclusion.

Nombre de sujets nécessaires

Pour détecter une différence de moyennes avec une puissance 1 - β (β < 0,5) il faut constituer deux échantillons, chacun de taille au moins égale à n, valeur donnée par la formule approchée suivante où σA2 et σB2 sont les variances dans les populations

Image graphique501486.trsp.gif

Condition de validité : n ≥ 30

12.2.2.2 Test d’égalité de deux distributions (ou test de comparaison de deux distributions observées) : test de Mann-Whitney-Wilcoxon

  1. Les hypothèses en présence

    H0 les densités de probabilité coïncident dans les deux populations : fA = fB
    H1 les densités de probabilité ne coïncident pas : fAfB
  2. Construction du paramètre : cette construction suit les mêmes lignes que celles du test de Wilcoxon décrit section 12.2.1.2.
    Par convention, on considère que  nAnB.
    On ordonne par valeurs croissantes l’ensemble des données observées (dont on disposera après réalisation de l’expérience). On attribue aux éventuels ex-æquo un rang commun égal à la moyenne des rangs qu’ils occupent. Puis on calcule la somme des rangs de classement occupés par les données issues de l’échantillon de la population A, soit TA.

    On calcule également Image graphique502487.trsp.gif.

    Puis TA de la façon suivante :
    • si δ > 0 TA = TA - 0,5
    • si δ < 0 TA = TA + 0,5

    Exemple
    Si les valeurs observées sont :
    • Echantillon de population A : 1,7 ; 6,1 ; 3,2 ; 1,5
    • Echantillon de population B : 4,3 ; 0,5 ; 1,1 ; 2,7 ; 5,4

    Le classement conduit à 0,5 (B) ; 1,1 (B) ; 1,5 (A) ; 1,7 (A) ; 2,7 (B) ; 3,2 (A) ; 4,3 (B) ; 5,4 (B) ; 6,1 (A) et à TA = 3+4+6+9 = 22.
    Enfin δ = 22-4×10/2 = 2. Donc TA = 21,5.

    Le paramètre du test est :

    • Image graphique503488.trsp.gif lorsque  nA et nB ≤ 10

    • Image graphique504489.trsp.gif lorsque  nA ou nB > 10

    Z a une distribution connue :
    • Lorsque  nA ou nB >10 cette distribution est à peu près N(0,1).
    • Lorsque  nA et nB ≤ 10, il s’agit d’une distribution faisant l’objet d’une table spécifique, la table du test de Mann-Whitney-Wilcoxon.
  3. Choix du seuil ; α = 0,05

    Construction de l’intervalle de pari Image graphique505490.trsp.gif
    Cet intervalle est du type Image graphique506491.trsp.gif
    Exemple : si  nA = 3 et nB = 5, on a M0,05 = 2,117
  4. Règle de décision

    Si Image graphique507492.trsp.gif, rejet de H0. On dit alors : au risque α la densité de probabilité de la variable étudiée n’est pas la même dans les populations A et B ; selon le signe de z, on conclura que la variable est « plutôt plus grande dans A que dans B », ou que la variable est « plutôt plus petite dans A que dans B ».
    Si Image graphique508493.trsp.gif, on ne conclut pas ; on ne rejette pas H0.
  5. Mise en œuvre de l’expérience ; calcul de z ; conclusion.

Remarque : si  nA < 3 ou nB < 4, ce test ne permet jamais de rejeter H0

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12.1 - Tests concernant des variables de Bernoulli
12.2 - Tests concernant des variables quantitatives
Résumé du chapitre
12.2.1 - Tests impliquant une valeur donnée
12.2.2 - Tests de comparaison de variables quantitatives
12.2.3 - Cas des séries appariées
12.2.2.1 - Test d’égalité de deux moyennes « vraies » (ou test de comparaison de deux moyennes observées)
12.2.2.2 - Test d’égalité de deux distributions (ou test de comparaison de deux distributions observées) : test de Mann-Whitney-Wilcoxon