Site FMPMC
     Page précédentePage suivanteSommaireVersion imprimable
   
 

Annales de Biostatistique

Liste des exercices

1 - Concours Nouméa 2008

2 - Concours 2007

3 - Concours Nouméa 2007

4 - Concours 2006

5 - Concours Nouméa 2006

6 - Concours 2005

7 - Concours Nouméa 2005

8 - Concours 2004

9 - Concours Nouméa 2004

10 - Concours 2003

11 - Concours Nouméa 2003

12 - Concours 2002

13 - Concours 2001

14 - Concours 2000

15 - Concours 1999

16 - Concours 1998


Tous droits de reproduction réservés aux auteurs


traduction HTML V2.8
V. Morice


8 - Concours 2004

 

Exercice 2 - (QCM - 8,5 points)

 

Lors des interventions, les services de chirurgie d’un hôpital utilisent des boîtes de compresses. Chaque boîte contient normalement 10 compresses. A la fin d’une intervention, les compresses utilisées sont comptabilisées avant d’être jetées et le nombre obtenu est comparé avec le nombre de boîtes vidées pour s’assurer qu’aucune compresse n’est oubliée dans le corps du patient.

Malheureusement certaines boîtes contiennent 9 compresses et d’autres 11.

Dans cet hôpital 60 % des boîtes de compresses proviennent du fournisseur f1, et les 40 % restantes viennent du fournisseur f2.

Le fournisseur f1 indique que 3 % de ses boîtes ont 9 compresses, et 0,01 % en ont 11.

Le fournisseur f2 indique seulement que 2 % de ses boîtes ont 9 compresses.

Partie I

On notera 9C, 10C et 11C le fait qu’une boîte contient respectivement 9, 10 ou 11 compresses.

2.1
 

Dans l’hôpital, sans faire aucun calcul, les données précédentes permettent d’écrire

  1. P(f1) = 0,6
  2. P(f1 ∩ 9C) = 0,03
  3. P(f1 / 9C) = 0,03
  4. P(9C / f1) = 0,03
  5. P(9C) est au plus égal à 0,03
  6. P(11C) est au plus égal à 0,0001

 
2.2
 

Quelle(s) est(sont) la(les) probabilité(s) correcte(s) (arrondies à 3 décimales) ?

  1. P(9C) = 0,020
  2. P(9C) = 0,025
  3. P(9C) = 0,030
  4. P(f1 ∩ 9C) = 0,018
  5. P(9C / f1) = 0,026
  6. P(f1 / 9C) = 0,692

 
2.3
 

Parmi les affirmations suivantes concernant f2, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

  1. Lorsque l’hôpital utilise une boîte de compresses, il y a une chance sur deux qu’elle provienne de f2.
  2. Si la boîte utilisée ne comporte que 9 compresses, il y a 2 % de chance qu’elle provienne de f2.
  3. Le risque d’utiliser une boîte provenant de f2 et ne comportant que 9 compresses est de 0,8 %
  4. La probabilité qu’une boîte de 9 compresses provienne de f2 vaut 0,308 (arrondi à 3 décimales)
  5. La probabilité qu’une boîte provienne de f2, conditionnellement au fait qu’elle ne contienne que 9 compresses, vaut 0,40
  6. La probabilité définie en E n’est pas calculable, puisque le fournisseur f2 n’a pas indiqué son taux de boîtes de 11 compresses.

 
Partie II

On s’intéresse au nombre de boîtes de 9 compresses qu’on trouvera dans l’hôpital parmi un ensemble de n boîtes de compresses.

2.4
 

On sait que la proportion observée po du nombre de boîtes de 9 compresses est une variable aléatoire.

  1. L’espérance mathématique de po est 0,026
  2. L’espérance mathématique de po est 0,03
  3. La variance de po est 0,0291/n (arrondi à 3 chiffres significatifs)
  4. La variance de po est 0,0253/n (arrondi à 3 chiffres significatifs)
  5. po est distribuée selon une loi normale dès que n ≥ 30
  6. po est distribuée selon une loi normale dès que n ≥ 193

 
2.5
 

Lorsqu’on a deux variables aléatoires X et Y, telles que Y = aX, a étant une constante, on sait que si X est distribuée selon une loi normale, Y aussi. Que sait-on aussi ?

  1. E(Y) = E(X)
  2. E(Y) = aE(X)
  3. E(Y) = a2E(X)
  4. var(Y) = var(X)
  5. var(Y) = avar(X)
  6. var(Y) = a2var(X)

 
2.6
 

On étudie n = 500 boîtes de compresses. On veut définir un intervalle contenant le nombre de boîtes de 9 compresses qu’on va y trouver, avec un risque d’erreur de 10 %

  1. On va construire un intervalle de confiance
  2. On va construire un intervalle de pari
  3. Au risque 10 %, po se trouvera dans l’intervalle [0,0143 ; 0,0377] (valeurs arrondies à 3 chiffres significatifs)
  4. Au risque 10 %, po se trouvera dans l’intervalle [0,0174 ; 0,0426] (valeurs arrondies à 3 chiffres significatifs)
  5. Au risque 10 %, le nombre de boîtes de 9 compresses sera compris entre 9 et 21 (valeurs arrondies aux entiers les plus proches)
  6. Au risque 10 %, le nombre de boîtes de 9 compresses sera compris entre 7 et 19 (valeurs arrondies aux entiers les plus proches)

 
Partie III

La présence de boîtes de 11 compresses peut conduire à oublier une compresse dans le corps du patient, donc à une réintervention. On aimerait donc connaître la probabilité d’obtenir des boîtes de 11 compresses avec le fournisseur f2.

Comme précédemment, on notera 11C le fait qu’une boîte contienne 11 compresses.

En utilisant le théorème de la multiplication, on montre que Image graphique161161.trsp.gif

On peut alors en déduire que Image graphique162162.trsp.gif et on peut vérifier qu’il s’agit d’une fonction croissante de P(f2 / 11C)

2.7
 

Sur un ensemble de 30 boîtes de 11 compresses, on en dénombre 18 provenant de f2.

  1. La probabilité qu’une boîte de 11 compresses provienne de f2 est alors 18/30
  2. 0,6 est une estimation ponctuelle de la probabilité conditionnelle P(f2 / 11C)
  3. 0,6 est une estimation ponctuelle de la probabilité conjointe P(f2 ∩ 11C)
  4. Au risque 1 %, l’estimation par intervalle de confiance de la probabilité dont 0,6 est une estimation ponctuelle est [0,425 ; 0,775] (bornes arrondies à 3 décimales)
  5. Au risque 1 %, l’estimation par intervalle de confiance de la probabilité dont 0,6 est une estimation ponctuelle est [0,370 ; 0,830] (bornes arrondies à 3 décimales)
  6. La plus sévère des conditions de validité de l’intervalle de confiance consiste à vérifier que 11,10 > 5 (valeur arrondie à 2 chiffres après la virgule)

 
2.8
 

En utilisant les informations et résultats précédents, on obtient donc

  1. L’estimation ponctuelle de P(11C) est 1,5 × 10-4
  2. L’estimation ponctuelle de P(11C) est 10-4
  3. L’estimation ponctuelle de P(11C / f2) est 1,5 × 10-4
  4. L’estimation ponctuelle de P(11C / f2) est 2,25 × 10-4
  5. L’estimation par intervalle de confiance de niveau 99 % de P(11C / f2) est
    [1,11 × 10-4 ; 5,17 × 10-4] (bornes arrondies à 2 décimales)
  6. L’estimation par intervalle de confiance de niveau 99 % de P(11C / f2) est
    [0,88 × 10-4 ; 7,32 × 10-4] (bornes arrondies à 2 décimales)

 
2.9
 

On finit par apprendre que f2 produit 0,03 % de boîtes contenant 11 compresses. On veut savoir s’il ne serait pas préférable de s’adresser à un seul des 2 fournisseurs f1 et f2.

Pour l’hôpital, le coût d’une boîte de 10 compresses est égal à 1 (dans une certaine unité) quel que soit le fournisseur.

Une boîte de 9 compresses est considérée comme ayant un coût de 1,5, puisqu’elle conduit à des achats complémentaires et à des gênes lors de l’intervention.

Une boîte de 11 compresses a un coût bien plus élevé, noté 1+x

  1. L’espérance mathématique du coût d’une boîte du fournisseur f1 est 10-4x + 1,015
  2. L’espérance mathématique du coût d’une boîte du fournisseur f1 est 6×10-5x + 0,609
  3. Si x = 10, il est préférable de n’acheter qu’au fournisseur f1 qui conduit au coût le plus faible (en espérance mathématique)
  4. Si x = 10, il est préférable de n’acheter qu’au fournisseur f2 qui conduit au coût le plus faible (en espérance mathématique)
  5. On peut continuer à acheter aux deux fournisseurs s’ils conduisent aux mêmes coûts (en espérance mathématique), ce qui se produit lorsque x = 25
  6. Les deux fournisseurs ont des coûts identiques (en espérance) lorsque x = 50

 
 
     Page précédentePage suivanteSommaireVersion imprimable
   
 
Exercice 1  - (6 points)
Exercice 2  - (QCM - 8,5 points)
Exercice 3  - (QCM - 2 points)
Exercice 4  - (QCM - 3,5 points)