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Annales de Biostatistique

Liste des exercices

1 - Concours Nouméa 2008

2 - Concours 2007

3 - Concours Nouméa 2007

4 - Concours 2006

5 - Concours Nouméa 2006

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14 - Concours 2000

15 - Concours 1999

16 - Concours 1998


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traduction HTML V2.8
V. Morice


5 - Concours Nouméa 2006

 

 

Durée 1 heure. Tout document autorisé.

Exercice 1 (questions rédactionnelles - 9 points)

Soit la fonction Image graphique4242.trsp.gif avec λ > 0 si x ≥ 0 et f(x) = 0 si x < 0.

Rappels :

Une primitive de f(x) est Image graphique4343.trsp.gif si x ≥ 0 et F(x) = 0 si x < 0.

Image graphique4444.trsp.gif ; Image graphique4545.trsp.gif ; Image graphique4646.trsp.gif ; Image graphique4747.trsp.gif

I- Généralités (1,5 points)
1.1
 

Montrer qu’il faut que c = λ pour que f(x) soit une densité de probabilité

 
1.2
 

Soit X une variable aléatoire distribuée selon la densité de probabilité f(x). On s’intéresse à la probabilité que X ≤ x. Comment s’appelle cette fonction de x ? Donner son expression.

La loi de X est appelée loi exponentielle de paramètre λ. On admettra que E[X] = 1/λ

 
II- Un test diagnostique (4,5 points)

On suppose qu’un certain produit injecté dans le sang disparaît après un temps T, variable aléatoire distribuée selon une loi exponentielle de paramètre 1.

Pour les personnes atteintes d’une certaine maladie, touchant 1 % de la population, le temps de disparition du produit dans le sang est distribué selon une loi exponentielle de paramètre 1/k. Les personnes malades sont notées M. Celles non atteintes sont notées N.

1.3
 

On sait que le temps moyen de disparition du produit chez les malades est supérieur au temps moyen de disparition chez les non malades. Quelle contrainte cela impose-t-il à k ?

 
1.4
 

On veut choisir un seuil s tel que si pour une personne le délai de disparition du produit est supérieur au seuil, elle est déclarée porteuse du signe pathologique S conduisant à conclure à la présence de la maladie ; si ce délai est inférieur au seuil, elle est déclarée non porteuse.

Montrer que la sensibilité vaut Se = Image graphique5252.trsp.gif et que la spécificité vaut Sp = 1 - Image graphique5353.trsp.gif

 
1.5
 

Supposons que k = 3 et qu’on ait choisi s = 1,65.

Calculer la sensibilité et la spécificité. Quel est le risque de ne pas détecter un malade ?

 
1.6
 

Calculer les valeurs prédictives

 
1.7
 

Les résultats précédents montrent que le test diagnostique n’est pas très bon. On peut penser que le seuil a été mal choisi. On a toujours k = 3.

On considère que le meilleur seuil est celui qui rend la somme Se + Sp la plus grande possible. Déterminer ce seuil en utilisant les formules de la question 2 (on se contentera de trouver la valeur du seuil qui annule la dérivée de Se + Sp, sans vérifier qu’elle correspond à un maximum). Comparer le résultat avec la valeur précédemment utilisée (s = 1,65). Peut-on alors espérer obtenir un meilleur test diagnostique que le précédent ?

 
III- La surface sous la courbe ROC comme indicateur de la qualité d’un examen (3 points)

Si on dispose d’un examen parfait, il existe un seuil tel que Se = Sp = 1.

On montre que la surface sous la courbe ROC correspondante (pour 1 - Sp compris entre 0 et 1) est égale à 1. Pour les autres tests (imparfaits), cette surface est inférieure à 1.

1.8
 

Un examen est inutile si son résultat ne dépend pas du fait d’être malade ou non, c’est à dire que la présence du signe S est indépendante de la présence de la maladie M. Une définition de l’indépendance est Pr (S / M) = Pr (S).

  1.8.1
 

En exprimant Pr (S) à l’aide du théorème des probabilités totales, montrer que l’indépendance s’écrit aussi Pr (S/N) = Pr (S), où N représente l’absence de la maladie.

  1.8.2
 

En déduire la relation qui lie Se à 1 - Sp en cas d’indépendance

 
  1.8.3
 

Sans calcul, quelle est la surface sous la courbe ROC correspondante

 
1.9
 

La surface sous la courbe ROC est donc comprise entre la valeur précédente et 1. Plus elle est proche de 1, meilleur est l’examen.

On suppose qu’il existe plusieurs formes du produit introduit dans la partie II, correspondant à plusieurs valeurs du nombre k.

On montre alors que la surface sous la courbe ROC (pour 1 - Sp compris entre 0 et 1) est Image graphique6464.trsp.gif

  1.9.1
 

A partir de quelle valeur de k cette surface est-elle au moins égale à 0,9

 
  1.9.2
 

Avec cette valeur de k, quel est le meilleur seuil (tel que Se + Sp soit le plus grand possible)

 
  1.9.3
 

Avec cette valeur de k et ce seuil, que deviennent la sensibilité et la spécificité

 
 
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Exercice 1  - (questions rédactionnelles - 9 points)
Exercice 2  - (questions rédactionnelles - 7 points)
Exercice 3  - (QCM - 3 points)
Exercice 4  - (QCM - 1 point)