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Annales de Biostatistique

Liste des exercices

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15 - Concours 1999

16 - Concours 1998


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traduction HTML V2.8
V. Morice


16 - Concours 1998

 

Exercice 2 - (7,5 points)

 

Une source d’électrons permet de créer un point lumineux sur un écran. La position du point sur l’axe horizontal est une variable aléatoire X dont la densité de probabilité f1 est :

f1(x) = c(x2 - 1)    pour -1 ≤ x ≤ 1
f1(x) = 0                pour x ≤ -1 et pour x ≥ 1

2.1 (3,6 points)
  2.1.1
 

Vérifier que c = -3/4

 
  2.1.2
 

Calculer l’espérance et la variance de X

 
  2.1.3
 

Vérifier que la fonction de répartition de X est  :

Image graphique413413.trsp.gif   pour -1 ≤ x ≤ 1

F1(x) = 0                              pour x ≤ -1

F1(x) = 1                              pour x ≥ 1

 
2.2 (2,5 points)
 

Le faisceau d’électrons peut en réalité emprunter deux trajets distincts. On hésite donc entre deux lois de probabilité pour la variable X. La première est la loi précédente et correspond au trajet 1. La seconde loi (trajet 2) est définie par la fonction de répartition F2 :

Image graphique414414.trsp.gif   pour -1 ≤ x ≤ 3

F2(x) = 0                              pour x ≤ -1

F2(x) = 1                              pour x ≥ 3

Pour identifier le trajet suivi par le faisceau, on met en œuvre la démarche suivante, apparentée à un test d’hypothèses :

Hypothèses
H0 : la fonction de répartition de X est F1(x) (le faisceau a suivi le trajet 1),
H1 : la fonction de répartition de X est F2(x) (le faisceau a suivi le trajet 2).
Intervalle de pari pour X
Intervalle de la forme [-1 ; a] où a est un nombre compris entre -1 et 1.
Règle de décision
On observe une réalisation x de X et on adopte la règle suivante : si x [-1 ; a], on choisit H0, sinon on choisit H1.

  2.2.1
 

On prend a = 0,73. Calculer le risque de première α et celui de seconde espèce β.

 
  2.2.2
 

Mêmes questions si a = -0,46.

 
  2.2.3
 

En quoi la démarche proposée se distingue-t-elle des tests d’hypothèses habituels ?

 
  2.2.4
 

On choisit la valeur de a (0,73 ou -0,46) pour laquelle le risque total α + β est minimal. Justifiez ce choix.

 
2.3 (1,4 points)
 

On sait maintenant que le faisceau d’électrons emprunte le premier trajet (correspondant à la fonction de répartition F1) avec une probabilité de 0,3 et le second trajet (fonction F2) avec une probabilité de 0,7.

  2.3.1
 

Si on observe un point lumineux dans l’intervalle [-1 ; 0,73], quelle est la probabilité que le faisceau ait suivi le second trajet ?
Si le point est en dehors de cet intervalle, quelle est la probabilité que le faisceau ait suivi le premier trajet ?

 
  2.3.2
 

Mêmes questions pour l’intervalle [-1 ; -0,46].

 
  2.3.3
 

En assimilant le fait que x soit dans l’intervalle [-1 ; 0,73] à « présence d’un signe » et le fait que le faisceau ait suivi le premier trajet à « diagnostic vrai », calculer les sensibilité, spécificité et valeurs prédictives.
Que vous suggère la comparaison entre les valeurs prédictives ?

 
 
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Exercice 1  - (7,5 points)
Exercice 2  - (7,5 points)
Exercice 3  - (5 points)