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Annales de Biostatistique

Liste des exercices

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traduction HTML V2.8
V. Morice


13 - Concours 2001

 

Exercice 2 - (7 points)

 

Cet exercice comporte 4 questions principales indépendantes

Après une certaine forme d’accident cardiaque, on considère qu’en l’absence de prise en charge, il y a 3 issues possibles : décès, complications donnant des séquelles irréversibles, état inchangé. Lorsqu’un patient a eu des complications, on considère qu’il ne peut plus revenir à l’état inchangé.

Au bout d’un temps T1 = 1 après l’accident, on définit donc 3 événements possibles : D1 = être décédé à T1 (l’instant du décès est compris entre 0 et T1) ; C1 = être vivant, mais avec complications, à T1 (les complications se sont produites entre 0 et T1, et il n’y a pas eu de décès ensuite) ; I1 = être vivant dans l’état inchangé à T1.

Si on attend jusqu’au temps T2 = 2 après l’accident, on définit 3 nouveaux événements : D2 = être décédé à T2 (l’instant du décès est entre 0 et T2) ; C2 = être vivant, mais avec complications, à T2 ; I2 = être dans l’état inchangé à T2.

2.1 (1,9 points)
 

Calcul des probabilités de décès à l’aide d’une fonction de répartition

On suppose que la densité de probabilité du décès à un instant t est donnée par Image graphique280280.trsp.gif avec λ = 0,105 et t ≥ 0 (t = 0 correspond à l’instant de l’accident cardiaque ; pour t < 0, f(t) = 0).

  2.1.1
 

Vérifier par dérivation que pour t ≥ 0, la fonction de répartition est définie par Image graphique281281.trsp.gif

 
  2.1.2
 

En utilisant le fait que l’événement D1 s’écrit aussi [t ≤ T1], montrer que P(D1) = 0,1. De même montrer que P(D2) = 0,19.

 
  2.1.3
 

Montrer que P([T1 < t ≤ T2] / [t > T1]) s’écrit Image graphique286286.trsp.gif

soit Image graphique287287.trsp.gif

 
  2.1.4
 

En notant Image graphique291291.trsp.gif l’événement « être vivant à T1 », en déduire que Image graphique292292.trsp.gif

 
2.2 (1,5 points)
 

Recalcul de P(D2) = 0,19 sans utiliser la fonction de répartition

On suppose ne connaître que Image graphique295295.trsp.gif

  2.2.1
 

Interpréter en une phrase l’écriture P(D2 / D1). En déduire la valeur de cette probabilité.

 
  2.2.2
 

En utilisant le théorème des probabilités totales, exprimer P(D2) en fonction des événements D1 et Image graphique296296.trsp.gif.

 
  2.2.3
 

En déduire la valeur de P(D2).

 
2.3 (1,8 points)
 

Calcul de P(C2) = 0,39

Outre les probabilités données question 2, on suppose de plus que Image graphique300300.trsp.gif

  2.3.1
 

Interpréter en une phrase l’ensemble de ces égalités.

  2.3.2
 

En déduire la valeur de P(C2 / C1). On pourra s’aider des remarques suivantes :

  • Une probabilité conditionnelle est une probabilité. En particulier pour 2 événements exclusifs A et B, on a P((A ∪ B) / C) = P(A / C) + P(B / C).
  • Un patient qui est dans l’état C1 à T1 ne peut être que C2 ou D2 à T2.

 
  2.3.3
 

On donne les probabilités suivantes :

P(C1) = 0,3

P(C2 / I1) = 0,2

Calculer P(C2).

 
2.4 (1,8 points)
 

Choix entre 2 centres de soins

Après l’accident cardiaque, on a le choix entre 2 centres de soins H1 et H2. Le premier permet une prise en charge à T1, le second à T2.

Après prise en charge, le patient peut être guéri (uniquement s’il était dans un état inchangé), avoir des complications (s’il en présentait déjà, ou si elles sont survenues après la prise en charge), ou être décédé (décès avant la prise en charge, ou après).

On choisit comme utilités 100 pour la guérison, 50 pour les complications, et 0 pour le décès.

L’ensemble des informations est reporté sur l’arbre de décision suivant

Image graphique302302.trsp.gif

  2.4.1
 

Interpréter la valeur 0,05 écrite en caractères gras dans l’arbre.

  2.4.2
 

Calculer les 3 valeurs notées A, B et C sur l’arbre.

 
  2.4.3
 

A quel centre de soins est-il préférable de s’adresser ?

 
 
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Exercice 1  - (QCM - 6 points)
Exercice 2  - (7 points)
Exercice 3  - (7 points)