Site FMPMC
     Page précédentePage suivanteSommaireVersion imprimable
   
 

Annales de Biostatistique

Liste des exercices

1 - Concours Nouméa 2008

2 - Concours 2007

3 - Concours Nouméa 2007

4 - Concours 2006

5 - Concours Nouméa 2006

6 - Concours 2005

7 - Concours Nouméa 2005

8 - Concours 2004

9 - Concours Nouméa 2004

10 - Concours 2003

11 - Concours Nouméa 2003

12 - Concours 2002

13 - Concours 2001

14 - Concours 2000

15 - Concours 1999

16 - Concours 1998


Tous droits de reproduction réservés aux auteurs


traduction HTML V2.8
V. Morice


12 - Concours 2002

 

Exercice 3 - (QCM - 7 points)

 

Les trois parties peuvent être traitées indépendamment.

On considère un test d’hypothèses dont le paramètre z est, sous H0, distribué selon une loi normale centrée réduite.

On répète le test 5 fois sur la même population, de manière indépendante. Chaque test conduit à une valeur calculée du paramètre notée zic (i variant de 1 à 5). On se demande comment utiliser ces valeurs pour prendre une décision unique.

On choisit d’abord comme règle de décision de rejeter H0 si au moins une des 5 valeurs zic est en dehors d’un intervalle de pari IP, à déterminer de manière à ce que le risque de première espèce α soit 0,05.

3.1
 

 

  3.1.1
 

Cocher la ou les affirmations correctes, concernant le risque de première espèce α :

  1. α = probabilité de conclure H1 alors que H1 est vraie
  2. α = probabilité de conclure H1 alors que H0 est vraie
  3. α = probabilité de ne pas rejeter H0 alors que H1 est vraie
  4. α = probabilité d’obtenir au moins une des 5 valeurs du paramètre en dehors de IP alors que H0 est vraie
  5. α = probabilité d’obtenir au moins une des 5 valeurs du paramètre en dehors de IP alors que H1 est vraie

 
  3.1.2
 

On suppose H0 vraie, et on choisit comme intervalle de pari IP1 = [-1,96 ; 1,96]

Quelle est la probabilité de rejeter H0, compte tenu de la règle de décision choisie :

  1. 0,05
  2. 0,95
  3. 5 × 0,05 (= 0,25)
  4. 0,055 (≈ 3,1 × 10-7)
  5. 0,955 (≈ 0,77)
  6. 1 - 0,955 (≈ 0,23)

 
3.2
 

Dans cette partie, on prend un intervalle de pari IP2 tel que le risque de première espèce α soit 0,05 avec la règle de décision choisie.

  3.2.1
 

On suppose H0 vraie. On note a2 la probabilité que le paramètre z n’appartienne pas à IP2.

La probabilité d’obtenir au moins une des 5 valeurs zic en dehors de IP2 est :

  1. a2
  2. 5 a2
  3. a25
  4. 1 - a25
  5. (1 - a2)5
  6. 1 - (1 - a2)5

 
  3.2.2
 

Cocher la ou les affirmations exactes lorsque α = 0,05 :

  1. a2 = 0,03 (arrondi à deux décimales)
  2. a2 = 0,01 (arrondi à deux décimales)
  3. IP2 = [-1,645 ; 1,645]
  4. IP2 = [-1,514 ; 1,514]
  5. IP2 = [-2,576 ; 2,576]
  6. On ne doit pas calculer l’intervalle IP2, car les conditions de validité ne sont pas satisfaites (5 < 30)

 
  3.2.3
 

Cocher la ou les affirmations correctes concernant le risque de deuxième espèce β, compte tenu de la règle de décision adoptée.

  1. β = probabilité de conclure H1 alors que H1 est vraie
  2. β = probabilité de conclure H1 alors que H0 est vraie
  3. β = probabilité de ne pas rejeter H0 alors que H1 est vraie
  4. β = probabilité d’obtenir au moins un des zic dans IP2 alors que H1 est vraie
  5. β = probabilité d’obtenir tous les zic dans IP2 alors que H1 est vraie
  6. β = probabilité d’obtenir au moins un des zic en dehors de IP2 alors que H1 est vraie

 
  3.2.4
 

On désire calculer β dans le cas où, dans la réalité, le paramètre z est distribué selon une loi normale de moyenne 1 et de variance 1.

Dans ce cas, le paramètre z a une probabilité notée b2 d’appartenir à IP2. On montre alors que β = b25.

Cocher la ou les affirmations correctes :

  1. b2 = P(-1,645 ≤ u ≤ 1,645) avec u ~ N(1,1)
  2. b2 = P(-2,576 ≤ u ≤ 2,576) avec u ~ N(1,1)
  3. b2 = P(-2,645 ≤ u ≤ 0,645) avec u ~ N(0,1)
  4. b2 = P(-3,576 ≤ u ≤ 1,576) avec u ~ N(0,1)
  5. β = 0,73 (arrondi à deux décimales)
  6. β = 0,22 (arrondi à deux décimales)

 
3.3
 

Dans cette partie, on veut baser la règle de décision sur la variable Image graphique253253.trsp.gif, moyenne expérimentale construite sur les 5 répétitions de z.

On suppose H0 vraie (donc z ~ N(0,1)).

  3.3.1
 

Parmi les affirmations suivantes concernant la loi de probabilité de Image graphique254254.trsp.gif, cocher celles qui sont exactes :

  1. Image graphique255255.trsp.gif suit une loi normale
  2. Image graphique256256.trsp.gif suit une loi normale à condition de supposer certaines conditions supplémentaires
  3. Pour pouvoir continuer, on admettra que Image graphique257257.trsp.gif suit une loi normale bien que les conditions de validité ne soient pas satisfaites
  4. Image graphique258258.trsp.gif ~ N(0,1)
  5. Image graphique259259.trsp.gif ~ N(0,5)
  6. Image graphique260260.trsp.gif ~ N(0,1/5)

 
  3.3.2
 

L’intervalle de pari IP3 de niveau 0,95 est :

  1. IP3 = [-1,96 ; 1,96]
  2. IP3 = [-2,576 ; 2,576]
  3. IP3 = [-0,876 ; 0,876]
  4. IP3 = [-0,392 ; 0,392]
  5. IP3 = [-4,38 ; 4,38]

 
 
     Page précédentePage suivanteSommaireVersion imprimable
   
 
Exercice 1  - (7 points)
Exercice 2  - (QCM - 6 points)
Exercice 3  - (QCM - 7 points)